on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 34 гостя.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

57.5 Изменение энергии конденсатора при изменении его емкости.

 Энергия конденсатора зависит от его емкости. Поэтому при изменении емкости заряженного конденсатора будем изменяться его энергия. Запишем цепочку формул, определяющих энергию конденсатора


 Попытаемся дать в общем виде ответ на вопрос: «Как зависит энергия конденсатора от его емкости?» Согласно первой формуле прямо пропорционально, согласно второй − обратно пропорционально, согласно третьей − вообще не зависит!? Конечно, поставленный вопрос не корректен1. Потому, что энергия конденсатора зависит еще и от его заряда, причем во всех случаях прямо пропорционально квадрату заряда. Говорить же об изменении энергии конденсатора при изменении его емкости следует только при других заданных условиях: остается ли постоянным заряд конденсатора, остается ли неизменным напряжение на конденсаторе?
 Если изменение емкости происходит при неизменном заряде конденсатора (при этом изменяется его напряжение), то для расчета энергии следует использовать формулу W = q2/(2C), которая указывает, что увеличение емкости приводит к уменьшению энергии и, наоборот, уменьшение емкости приводит к увеличению энергии.
 Если же изменение емкости происходит при постоянном напряжении (например, когда конденсатор подключен к источнику постоянной ЭДС), то для расчета энергии и ее изменения нужно использовать выражение W = CU2/2. В этом случае увеличение емкости приводит к увеличению энергии.
Рассмотрим теперь те процессы, при которых такие изменения могут происходить, и проанализируем баланс энергии в этих процессах. Для упрощения расчетов и наглядности изложения возьмем плоский воздушный конденсатор с параллельными пластинами площади S. Изменение емкости конденсатора будем проводить, изменяя расстояние между пластинами. При этом будем считать, что размеры пластин значительно превышают расстояние между ними, что позволяет пренебречь краевыми эффектами, то есть считать электрическое поле E между пластинами однородным (рис. 553).
Электрическая емкость такого конденсатора равна

где h − расстояние между пластинами. Из формулы (2) следует, увеличение расстояния между пластинами приводит к уменьшению его емкости.
 Сначала рассмотрим случай, когда заряд конденсатора остается неизменным, т.е. когда, конденсатор зарядили и отключили от источника.
 Итак, конденсатор заряжен, заряды каждой пластины одинаковы по модулю и равны qo и противоположны по знаку. Мысленно раздвинем пластины. При этом емкость конденсатора уменьшилась, следовательно, его энергия возросла. Качественно итог понятен: пластины имеют заряды противоположного знака, следовательно, они притягиваются друг к другу. Чтобы раздвинуть пластины, необходимо приложить некоторую внешнюю силу F и совершить работу. Эта работа и будет равна изменению энергии конденсатора.
 Облачим теперь эти качественные рассуждения в строгие математические расчеты.
 Пусть начальное расстояние между пластинами равно ho. В этом случае энергия конденсатора равна

 Найдем силу притяжения между пластинами. Сила, действующая на одну пластину, равна

где qo − заряд этой пластины E/ − напряженность поля, создаваемого зарядами другой пластины.

рис. 553

 Понятно, что напряженность этого поля в два раза меньше напряженности суммарного поля Eo между пластинами, так как последнее создается зарядами обеих пластин. Пренебрегая краевыми эффектами (то есть, считая пластину бесконечной), запишем выражение для напряженности поля

где σ = qo/S − поверхностная плотность заряда на каждой пластине.
Таким образом, сила, действующая на одну пластину, равна

 Отметим, в данном случае эта сила постоянна, от расстояния между пластинами не зависит2.
 Заметим, что формально эту формулу можно получить гораздо проще, используя выражение (1) и известную связь между силой и потенциальной энергией F = −W/ (сила равна производной от потенциальной энергии, взятой с противоположным знаком).
 Впрочем, эту связь, правда, в обратном направлении мы использовали в одном из выводов формулы для энергии заряженного конденсатора.
 Формуле (6) можно придать иной вид, если выразить силу через напряженность электрического поля Eo = 2E/ с помощью формулы (5)

 Интересно отметить, что давление электрического поля на проводящую платину в точности равно объемной плотности энергии поля

 Причем этот вывод справедлив для проводника любой формы: давление электрического поля на проводник равно плотности энергии электрического поля вблизи поверхности проводника.
 Еще один аргумент в пользу этого утверждения давление и объемная плотность энергии имеют одинаковую размерность

 Только не надо измерять объемную плотность энергии в Паскалях!

рис. 554

 При перемещении пластины (увеличении расстояния) на величину Δh эта внешняя сила совершит положительную работу

 Эта работа пойдет на увеличении энергии конденсатора, которая станет равной

 Понятно, что увеличение энергии конденсатора равна увеличению энергии электрического поля − увеличился объем занятый полем, поэтому работа также может быть представлена в виде A = ΔW = wΔV.
 Таким образом, мы показали, что и в этом случае энергетический баланс сходится.
 Рассмотрим теперь этот же процесс при условии, что обкладки конденсатора подключены к источнику постоянной ЭДС (рис. 555).

рис. 555

 Теперь при изменении расстояния между пластинами, остается неизменным напряжение

между ними. Следовательно, для расчета энергии конденсатора следует пользоваться выражением

 Как и в рассмотренном ранее примере, увеличение расстояния между пластинами приводит к уменьшению емкости конденсатора, и как следствие к уменьшению энергии конденсатора. В этом проявляется определенный парадокс: разноименно заряженные пластины притягиваются, при увеличении расстояния между ними внешняя сила совершает положительную работу, однако при этом энергия конденсатора не растет, а уменьшается! Действительно, изменение энергии конденсатора в этом случае равно

а так как h1 > ho, то ΔWC < 0.
 Таким образом, данная проблема требует более тщательного анализа.
 Сомнений в выполнимости закона сохранения энергии быть не должно, только надо его применять правильно! Энергия сохраняется в замкнутой системе, а конденсатор таковой не является − он же подключен к источнику ЭДС. При увеличении расстояния между пластинами емкость конденсатора уменьшается, поэтому уменьшается заряд на пластинах, которому некуда деться, кроме как вернуться назад, в источник. Их возращению препятствуют сторонние силы (вспомните − сторонние силы источника стремятся «вытолкнуть заряды из источника), поэтому при возвращении зарядов энергия источника повышается. Таким образом, при раздвигании пластин конденсатора происходит подзарядка источника, а энергия, переданная посредством совершенной работы, переходит в энергию источника. Кроме того, энергия поля в конденсаторе также уменьшается, поэтому эта «потеря» энергии также переходит в источник. Иными словами, при перемещении пластины внешняя сила не только совершает работу по подзарядке источника, но и «заставляет» электрическое поле вернуть часть своей энергии. Схематически потоки энергии в этом процессе показаны на рис. 556.

рис. 556

 Подтвердим проведенные рассуждения расчетами энергетического баланса и покажем, что он точно выполняется. Силу притяжения между пластинами выразим через постоянное напряжение между пластинами

 В данном случае эта сила зависит от расстояния между пластинами. Поэтому для расчета работы необходимо разбить процесс движения пластины на малые участки и затем просуммировать работы на этих участках. Чтобы избежать этой громоздкой математической процедуры, будем считать, что смещение Δh мало настолько, что можно пренебречь изменением силы притяжения. В этом приближении работа внешней силы будет равна

 Преобразуем также выражение для изменения энергии конденсатора с учетом малости смещения. Запишем h1 = ho + Δh и подставим в формулу (9)

 Наконец, найдем работу по зарядке источника, которая равна произведению «вернувшегося» заряда на ЭДС источника (которая равна напряжению конденсатора):

 Итак, проведенный расчет полностью подтверждает сделанные ранее заключения: увеличение энергии источника (что равносильно − работа по его подзарядке) равно сумме работы внешней силы и уменьшения энергии поля конденсатора

 Интересна роль внешней силы, раздвигающей пластины конденсатора: она и сама работу совершает и заставляет работать конденсатор!
Задание для самостоятельной работы.
1. Докажите, что в рассмотренном процессе энергетический баланс выполняется при любом (не малом) смещении пластины. В качестве подсказки − обратите внимание, что сила притяжения между пластинами в данном случае зависит от расстояния между ними так же, как в законе Кулона и законе всемирного тяготения!
 Для того, что построить гидродинамические аналогии рассмотренных процессов изменения емкости заряженных конденсаторов, нам необходимо сконструировать аналог переменного конденсатора. Все рассмотренные ранее «гидравлические конденсаторы» являлись вертикальными сосудами, причем их «емкость» была пропорциональна площади дна сосуда. Следовательно, аналогом переменного конденсатора может служить сосуд, одна из стенок которого подвижна3. При уменьшении площади сосуда уменьшается его «емкость». В рассмотренных электростатических примерах, наоборот, уменьшению емкости конденсатора соответствует увеличение расстояния между его пластинами.
 Пусть теперь в нашем сосуде находится некоторый объем жидкости, уровень которой равен ho (рис. 557).

рис. 557

 Чтобы сместить подвижную стенку, к ней необходимо приложить некоторую внешнюю силу F. Если объем жидкости в сосуде сохраняется, то при смещении стенки ее уровень повышается, следовательно, увеличивается ее энергия.
Сравните: при неизменном объеме жидкости (электрическом заряде) уменьшение площади сосуда (емкости конденсатора) под действием внешней силы приводит к возрастанию уровня жидкости (разности потенциалов) и гидростатической энергии жидкости (электростатической энергии поля).
 Можно ожидать, что увеличение потенциальной энергии жидкости равно работе внешней силы. Найдем зависимость этой силы от расстояния x между подвижной и неподвижной стенками. Эта сила равна произведению среднего давления жидкости на подвижную стенку

на площадь соприкосновения ее с жидкостью ah. Кроме того необходимо использовать условие постоянства объема жидкости

 В итоге для силы получим следующее выражение

 Эта сила переменна, поэтому для вычисления работы необходимо, либо рассматривать малые смещения, либо использовать аналогию с Законом Кулона − ведь и здесь сила обратно пропорциональна расстоянию!
 Рекомендуем провести расчет баланса энергий самостоятельно.
 Если конденсатор подключен к источнику постоянной ЭДС, то напряжение между его обкладками поддерживается постоянным.

рис. 558

 В гидростатической аналогии необходимо в этом случае говорить о постоянной высоте уровня жидкости в сосуде. В качестве устройства, поддерживающего постоянный уровень следует использовать наш гидравлический аналог ЭДС − насос, поддерживающий постоянной давление. При смещении подвижной стенки в этом случае внешняя сила также совершает положительную работу, но потенциальная энергия жидкости в сосуде уменьшается, так как уменьшается ее объем при неизменной высоте уровня. Под действием этой внешней силы часть жидкости из сосуда заталкивается в резиновую грушу, при этом энергия последней возрастает. Увеличение ее энергии равно сумме работы внешней силы и уменьшения потенциальной энергии жидкости в сосуде.
Сравниваем: при постоянном уровне жидкости в сосуде (напряжении конденсатора) уменьшение площади дна (емкости конденсатора) под действием внешней силы приводит к возвращению части жидкости (электрического заряда) в резиновый сосуд, поддерживаемый при постоянном давлении (источник постоянной ЭДС). При этом увеличение энергии жидкости в резиновом сосуде постоянного давления (источника ЭДС) равно сумме работы внешней силы и уменьшения потенциальной энергии жидкости в сосуде (энергии конденсатора).
 Также рекомендуем самостоятельно провести расчет баланса энергии в этом случае − он сходится! Это задание проще, так как в этом случае внешняя сила должна быть постоянной.
 Электроемкость конденсатора зависит также от диэлектрической проницаемости вещества, находящегося между обкладками. Поэтому емкость конденсатора можно изменять, меняя вещество, находящееся между обкладками. Пусть, например, между обкладками плоского конденсатора находится диэлектрическая пластинка. Если конденсатор заряжен, то для извлечения пластинки необходимо приложить к ней внешнюю силу и совершить положительную работу. Механизм возникновения силы, действующей на пластинку со стороны электрического поля, проиллюстрирован на рис. 559.

рис. 559

 При ее смещении изначально однородное распределение зарядов на обкладках конденсатора и поляризационных зарядов на пластинке искажается. Как следствие этого перераспределения зарядов искажается и электрическое поле, поэтому возникаю силы, стремящиеся втянуть пластинку внутрь конденсатора.
 Расчет этих сил сложен, но энергетические характеристики происходящих процессов могут быть найдены без особого труда. С формальной точки зрения, не важно чем вызваны изменения емкости конденсатора, поэтому можно воспользоваться всеми рассуждениями и выводами предыдущего раздела, как для случая изолированного конденсатора (при сохранении заряда), так для конденсатора подключенного к источнику постоянной ЭДС.


1Аналогичный вопрос можно задать по поводы зависимости мощности теплоты, выделяющейся на участке цепи, при протекании электрического тока. Закон Джоуля-Ленца можно представить в трех формах

поэтому одинаково обосновано можно утверждать, что эта мощность: а) пропорциональна сопротивлению участка; б) обратно пропорциональна сопротивлению; в) от сопротивления не зависит!
2К сожалению, иногда для вычисления силы взаимодействия между заряженными телами (не материальными точками) применяют закон Кулона. Так при его использовании в данном случае получают результат

который даже качественно неверен, даже вид зависимости от расстояния не тот!
3Придется заменить круговой цилиндр на параллелепипед − аквариум с подвижной стенкой, потому что у цилиндра трудно найти «одну из стенок»!