on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 50 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

57.4 Перераспределение зарядов на конденсаторах.

 Рассмотрим еще один интересный и поучительный пример. Пусть конденсатор емкостью C (будем называть его первым), имеющий заряд qo подключается ко второму такому же конденсатору (рис. 551).


рис. 551

 После установления равновесия напряжения на конденсаторах станут равными, поэтому электрические заряды распределятся между ними поровну. При этом суммарная энергия конденсаторов уменьшается. Действительно, начальная энергия заряженного конденсатора равна

 После перезарядки суммарная энергия конденсаторов станет равной

то есть уменьшится в два раза. Понятно, что потери энергии электрического поля обусловлены выделением теплоты при протекании электрического тока в ходе перераспределения зарядов. Таким образом, количество выделившейся теплоты равно уменьшению энергии конденсаторов

что составляет ровно половину начальной энергии.
 Отметим, что величина этих потерь не зависит от сопротивления цепи, соединяющей конденсаторы − это сопротивление определяет длительность процесса перераспределения. Опять мы встречаемся с «обязательным» тепловым налогом, который и в рассмотренном случае также составляет 50 %. При не равных емкостях конденсаторов процентная ставка налога будет иной.
 Пусть по цепи протек заряд q, тогда используя свойство потенциальности электрического поля (сумма напряжений на всех элементах замкнутого контура равна нулю − обход совершаем против часовой стрелки, по направлению тока), запишем уравнение

 И представим его в виде

 На основании этого уравнения заключаем, что, во-первых, стационарное значение заряда на втором конденсаторе равно

(т.е. исходный заряд поровну разделится между одинаковыми конденсаторами); во-вторых, характерное время перераспределения зарядов равно1

 Дальнейшая процедура узнаваема:
− переписываем уравнение (3) в виде

− разбиваем процесс на малые временные участки Δti, для каждого из них записываем уравнение (5), умножаем его на величину Δqi и суммируем:

− указываем смысл каждой суммы: первая − энергия, отданная первым конденсатором; вторая − энергия, полученная вторым конденсатором; третья − теплота, выделившаяся на резисторе при протекании тока.
 Уравнение (6) показывает выполнение закона сохранения энергии2.
 Для вычисления сумм в выражении (6) воспользуемся их геометрическими иллюстрациями. Построим графики зависимостей напряжений на первом и втором конденсаторах

от заряда, протекшего через резистор (рис. 552).

рис. 552

 Эти графики являются прямыми линиями, а площади под ними численно равны соответствующим суммам.
 Таким образом, энергия, отданная первым конденсатором, численно равна площади трапеции OABD, Энергия, полученная вторым конденсатором − площади треугольника OBD. Теперь, внимание! Разность между напряжениями на конденсаторах равна напряжению на резисторе. Следовательно, площадь треугольника OAB равна количеству теплоты, выделившейся на резисторе. Как следует, из построенной диаграммы, количество выделившейся теплоты в два раза больше энергии, переданной второму конденсатору («тепловой налог» возрастает до 67 %!).
 Добавим, что площадь прямоугольника OAGD равна начальной энергии первого конденсатора, а площадь треугольника AGD его конечной энергии. Таким образом, данная диаграмма количественно иллюстрирует баланс энергий в рассматриваемом процессе!
 Может быть, длительное алгебраическое вычисление сумм было излишне, ведь для этого достаточно вспомнить формулу для площади треугольника.
 Рассмотренная «электрическая задача имеет очень простую гидростатическую аналогию. Пусть два одинаковых цилиндрических сосуда соединены в нижней части трубкой (рис. 553).

рис. 553

 Первоначально в одном сосуде находится жидкость, высоту уровня которой обозначим ho. Эта жидкость обладает потенциальной энергий в поле тяжести, равной

где hc = ho/2 − высота центра масс жидкости, m − ее масса. Если жидкость начнет перетекать во второй сосуд, то после установления равновесия уровни жидкости в сосудах сравняются на высоте ho/2, следовательно, центр масс жидкости окажется на высоте hc1 = ho/4. При этом потенциальная энергия жидкости станет равной

то есть уменьшится в два раза. Потери энергии и в данном случае связаны с выделением теплоты при перетекании жидкости, связанной с силами вязкого трения (опять «тепловой налог»!). Если бы эти силы полностью отсутствовали3, то уровни жидкости колебались бы бесконечно долго.
 Подумайте, а что будет с зарядом конденсаторов, если они изготовлены из сверхпроводников и соединены сверхпроводящими проводами!
Задания для самостоятельной работы.
1. Найдите изменение энергии поля, если конденсаторы в рассмотренной задаче имеют различные емкости.
2. Постройте математическую модель, описывающую процесс перетекания жидкости из сосуда в сосуд.


1Обратите внимание, что конденсаторы в цепи соединены последовательно, поэтому суммарная емкость цепи равна C/2. Следовательно, формула для характерного времени RC верна и в этом случае.
2Мы не сомневаемся в универсальной справедливости этого закона! Точнее надо сказать: уравнение (6) доказывает, что начальная энергия заряженного конденсатора частично перешла в энергию второго конденсатора, частично в тепловую, и никаких новых видов энергии, никаких иных каналов ее передачи в данной системе не существует!
3А такая жидкость реально существуют − жидкий гелий, обладающий свойством сверхтекучести.