on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 4 гостя.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

57. Превращения энергии при зарядке и разрядке конденсаторов.

57.1 Напоминание1 и гидродинамическая аналогия.

Емкостью конденсатора называется отношение его заряда2 q к разности потенциалов (напряжению) между обкладками


 Емкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных пластин площадью S, размеры которых значительно больше расстояния между ними h и заполненного диэлектриком с проницаемостью ε, определяется по формуле

 Энергия конденсатора, заряженного до напряжения U и имеющего заряд q, определяется по одной из формул

 Для плоского конденсатора эта энергия может быть выражена через напряженность поля E между обкладками

 Как известно, на заре изучения электрических явлений их пытались объяснить исходя из представлений о некоторой гипотетической электрической жидкости. В настоящее время напоминание об этой (или этих) жидкости остались только в устоявшейся терминологии: «электрический ток», «емкость конденсатора», «падение напряжения» и т.д. Не смотря на то, что «аналогии ничего не доказывают», в данном разделе мы рассмотрим аналогии между электрическими и гидродинамическими явлениями в поле тяжести. Тем более, что такие аналогии использовались ранее при описании электрического тока.
 Основой этих аналогий являются совпадение математических формул, описывающих данные явления.
 Итак, аналогом электрического заряда q будем считать объем некоторой реальной жидкости неизменной плотности ρ: q* = V (все гидродинамические величины-аналоги, будем обозначать тем же символом, что и соответствующие электрические величины, но «со звездочкой). В качестве аналога электрического потенциала будем использовать давление жидкости.
 Аналогом конденсатора нам будет служить вертикальный цилиндрический сосуд (рис. 540), основной характеристикой которого будет служить площадь его поперечного сечения S.

рис. 540

 Роль электростатического поля, действующего на заряды, в такой ситуации играет сила тяжести, действующая на жидкость. Аналогом напряжения в этом случае играет разность давлений между верхней и нижней поверхностями жидкости, или гидростатическое давление на дно сосуда

где H − высота уровня жидкости в сосуде. Иными словами, мы принимаем за нуль гидравлического потенциала давление на свободной поверхности жидкости. Важно также отметить, что гравитационной поле, так же как и электростатическое, является потенциальным.
 Обратите внимание, высоту самого сосуда мы не оговариваем и не ограничиваем: мы же считаем, что напряжение на конденсаторе может быть любым. Если вам нужно учесть, что при некотором напряжении наступает пробой конденсатора, то в рамках аналогии можете задать высоту самого сосуда − тогда «давление − напряжение» не превысит предельного, задаваемого высотой сосуда.
 Заметим, что аналогия между электрическим напряжением и гидростатическим давлением (при использовании аналогии «электрический заряд − объем жидкости») является корректной. Так работа по перемещению заряженного тела в электрическом поле равна произведению заряда тела на разность потенциалов между начальной и конечной точками траектории3:

 Аналогичное соотношение справедливо и для работы силы тяжести:

 Рассчитаем «емкость гидроконденсатора», используя аналогию с формулой (1)

 Важно, что согласно данному определению, «емкость» не зависит от количества налитой в сосуд жидкости, также как и емкость электрического конденсатора не зависит от накопленного в нем заряда.
Рассчитаем энергию жидкости в сосуде, которая равна произведению массы жидкости, ускорения свободного падения и высоты центра масс:

и здесь мы имеем полную аналогию.
 Для описания движения жидкости по трубе (протекания электрического тока по проводнику), также введем величины, являющиеся явными аналогами электрических величин. Основной характеристикой электрического тока является сила тока − заряд, протекающий через поперечное сечение проводника за единицу времени

 Аналогом этой величины служит расход жидкости J − объем, протекающий через поперечное сечение трубы за единицу времени

 Отметим, что аналогом плотности тока является обычная скорость течения жидкости.

рис. 541

 При ламинарном течении вязкой жидкости по трубе расход жидкости можно считать пропорциональным разности давлений на ее торцах (этот закон носит имя французского физика Пуазейля), что является полным аналогом закона Ома для участка цепи

 Здесь коэффициент пропорциональности β зависит от размеров трубы и вязкости жидкости.
При движении вязкой жидкости по трубе с постоянной скоростью кинетическая энергия не изменяется, поэтому работа сил вязкого трения равна количеству выделившейся теплоты. Определим ее. За малый промежуток времени количество выделившейся теплоты (или работа сил вязкого трения) равна

где Fconp − сила, действующая на жидкость со стороны стенок трубы, v − средняя скорость течения жидкости по трубе4.

рис. 542

 При равномерном движении она по модулю равна разности сил давления с торцов трубы Fconp = sΔp, где s − площадь поперечного сечения трубы. Произведение площади поперечного сечения на среднюю скорость жидкости равен расходу sv = J. Учетом сказанного формула (9) приобретает вид

что является аналогом закона Джоуля-Ленца. Его можно записать в эквивалентных формах (используя закон Пуазейля):

 Для существования электрического тока необходим источник, характеризуемый ЭДС и внутренним сопротивлением. Не представляет труда сконструировать гидродинамический аналог такого элемента. Его можно представить в виде насоса, создающего постоянную разность давлений жидкости, аналог ЭДС

между выходом и входом.
 Для нашего дальнейшего изложения эту модель можно даже упростить: рассматривать поршневой цилиндрический насос, к поршню которого прикладывается постоянная сила, создающая постоянное давление в рабочем цилиндре po (аналог ЭДС).

рис. 543

 При работе насоса жидкость, протекая через патрубок (выходную трубку), испытывает сопротивление из-за вязкого трения. Как и в случае закона Ома для участка цепи будем считать, что из-за вязкого трения разность давлений падает на величину пропорциональную расходу жидкости

где β/ − коэффициент, являющийся аналогом внутреннего сопротивления источника.
 Конечно, закон Пуазейля выполняется далеко не всегда − увеличение скорости течения, появление вихрей … приводят к его нарушению, но и закон Ома справедлив не во всех случаях!
 Второе возможное возражение против используемой аналогии − инерционность жидкости. Действительно, жидкость должна иметь массу, иначе на нее не будет действовать сила тяжести. Однако, во всех случаях мы будем пренебрегать инерционностью течения жидкости, считая ее движение квазистационарным. Иными словами, считать жидкость очень вязкой… или считать ее столь же идеальной, как и жидкость электрическая! Наконец, наша цель понять возможные пути преобразования энергии в электрических процессах, а «аналогии ничего не доказывают, но … многое проясняют»


1Эти вопросы подробно рассмотрены во второй части данной серии, поэтому здесь мы ограничиваемся краткими напоминаниями.
2Напомним, зарядом конденсатора называется заряд одной из его обкладок.
3Здесь мы использовали новое обозначение для работы δA, совершенной по перемещению малой порции заряда Δq. Различие в обозначениях малых величин не случайно. По-прежнему знак Δ («дельта большое») означает изменение некоторой величины, то есть разность между конечным и начальным значением Δx = xкон − xнач. Знак δ («дельта малое») здесь и в дальнейшем используется для обозначения характеристики процесса на малом его участке. Можно говорить об изменении энергии системы в указанном выше смысле ΔW = Wкон − Wнач. Говорить об «изменении» работы или количества теплоты не имеет смысла, так как никакая физическая система не обладает ни работой, ни теплотой. Работа и теплота являются характеристиками процесса, при котором происходит изменение энергии, они могут быть представлены в виде разности каких-то физических величин, поэтому мы будем их обозначать δA, δQ.
4Строго говоря, скорость течения жидкости не одинакова в поперечном сечении трубы (в центре больше, у стенок меньше). Учет этого обстоятельства серьезно усложняет математические выкладки, но приводит к тому же «очевидному» результату.