on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 33 гостя.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

56.1 Математическое введение1.

 Многие физические величины математически описываются как функции, которые могут зависеть от времени, координат и т.д. Большинство физических законов формулируются в виде уравнений, описывающих скорости изменения этих функций. Например, уравнение второго закона Ньютона описывает изменение скорости тела под действием внешних сил. К удовольствию физиков, различные физические процессы могут описываться одинаковыми уравнениями. Понятно, что одинаковые уравнения имеют одинаковые решения, что позволяет решения, полученные в одной области физики переносить на другие области. С математической точки зрения можно рассматривать решение этих уравнений, не оговаривая физический смысл входящих в него величин и параметров2. Сейчас мы познакомимся с одним из таких уравнений, очень часто встречающихся в различных областях физики.
 Пусть скорость изменения некоторой физической величины, описываемой функцией X(t), пропорциональна самой величине, то есть подчиняется уравнению


где a − некоторая постоянная величина.
 Параллельно с общим уравнением будем рассматривать конкретный физический пример. Пусть лодка массой m движется по поверхности воды, со стороны которой на тело действует тормозящая сила, пропорциональная скорости тела F = −βv. В этом случае на основании второго закона Ньютона можно записать уравнение

 Для однозначного определения функции X(t) уравнение (1) необходимо дополнить начальным условием: значением функции Xo (для определенности будем считать, что Xo > 0) в момент времени to = 0. Так, в рассматриваемом физическом примере следует задать начальную скорость vo.
 Качественно решение этого уравнения описывается следующим образом (рис. 534):

рис. 534

при t = 0 значение функции задается начальным условием Xo, затем функция начинает убывать, причем сначала скорость убывания равна

по мере уменьшения значения функции X скорость ее убывания падает. Поэтому графиком этой функции будет монотонно убывающая кривая. Характерное время убывания функции оценивается как время, за которое функция стала бы равной нулю, если скорость ее убывания остается такой же, как в начальный момент времени

 Таким образом, величина обратная коэффициенту пропорциональности в уравнении (1) имеет смысл характерного времени затухания, поэтому имеет смысл записать это уравнение в виде, явно включающем этот параметр

 Теперь для определения характерного времени затухания τ, достаточно привести уравнение изменения к стандартному виду (3), в котором коэффициент пропорциональности имеет смысл величины, обратной времени затухания.
 Строго говоря, время, через которое функция X(t) станет равной нулю, равно бесконечности. Чтобы доказать это утверждение, будем считать, что функция X(t) изменяется скачками в равноотстоящие моменты времени tk = kΔt (k = 0, 1, 2, …), ее значения в эти моменты времени обозначим Xo, X1, X2, …. Если интервал времени Δt взять достаточно малым, то значения Xo, X1, X2, … будут мало отличаться от точного решения рассматриваемого уравнения (3). В дискретном приближении уравнение (1) заменяется следующим

которое преобразуется к виду

 Из этого выражения следует, что величины Xo, X1, X2, … образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию

члены которой только стремятся к нулю, но не достигают его. Можно получить и точное решение уравнения (3). Для этого следует устремить Δt → 0. Тогда текущее время может быть записано в виде t = kΔt. Геометрическая прогрессия в этом случае устремиться3 к функции

 Таким образом, точный смысл величины следующий: за это время функция X убывает в e = 2,71828 раз, соответственно за время она уменьшится в e2 = 7,389… раз, за время в e3 = 20,0855… раз и т.д.
 Теперь нет необходимости, каждый раз решать уравнения подобного типа, или оценивать характерные времена − достаточно привести его к стандартному виду. Так, например, непосредственно из вида уравнения (1а) следует, что характерное время движения лодки до остановки равно τ = m/β.
 Часто возникает необходимость в вычислении различных суммарных характеристик, описывающих весь процесс изменения X(t). Вычислим некоторые из них.
 Пусть в некоторый момент времени ti значение рассматриваемой величины равно Xi, за последующий малый промежуток времени Δti величина X изменилась на малую величину ΔXi (рис. 535).

рис. 535

 Во многих задачах необходимо уметь вычислять площадь под графиком зависимости X(t), то есть сумму4

для промежутка времени, изменяющегося от 0 до некоторого t1, при очень малом шаге Δt.
 Для вычисления этой суммы выразим из уравнения (3) значение функции через скорость ее изменения, после чего суммирование проводится элементарно

 Здесь X1 значение функции в момент времени t1.
 Можно просуммировать и по бесконечному промежутку времени до Δt → ∞. Для этого достаточно в формуле (6) положить X1 = 0. В этом случае

 Полученная формула имеет наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 536):

рис. 536

площадь под кривой затухания равна площади прямоугольника со сторонами Xo и τ.
 Этот же результат можно получить, суммируя геометрическую прогрессию (5)

 Применим полученную формулу к движению лодки, описываемому уравнением (1 а). В этом случае формальная сумма (7) приобретает явный физический смысл путь, пройденный лодкой до остановки:

 Так применяя формулу (7) сразу получаем, что этот путь равен

 Иногда приходится вычислять сумму вида

поэтому найдем ее.
 Выразим опять из уравнения (4) значение функции через скорость ее изменения

и проведем суммирование

 Остановимся отдельно на вычислении часто встречающейся суммы

 Ее можно преобразовать, используя соотношение, справедливое для малых изменений

где X1 − значения величины в конце рассматриваемого промежутка времени.
 Этой же формуле можно дать простую геометрическую иллюстрацию (рис. 537).

рис. 537

 Построим график функции Y = X. Тогда площадь трапеции под графиком этой функции и будет выражаться суммой (М8), если, конечно устремить ΔX к нулю и вспомнить что, площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Особо отметим, что эта формула применима, не зависимо от того, по какому закону изменяется величина X.
 Эта формула уже неоднократно нам встречалась. Особенно часто она используемся при расчете различных видов энергии:

 Впрочем, с последней познакомимся позже.
 Подставляя полученную формулу в искомую сумму, получим

 Если суммирование проводится по всему процессу изменения величины , то Xk = 0 и тогда

 Эту формулу можно легко получить, если воспользоваться точным выражением (5) для функции X(t). Тогда получим

 Теперь можно воспользоваться формулой для суммы (М7).
 Получите самостоятельно формулу (М10), используя приближенное решение уравнения в виде геометрической прогрессии (М4).

 Покажем, применение формулы для суммы (8) для движения лодки. В этом случае она приобретает наглядный физический смысл. Действительно, вычислим работу сил сопротивления, действующих на лодку. За малый промежуток времени она равна


 Для вычисления этой работы за все время торможения следует воспользоваться полученной формулой (8), тогда

 Таким образом, ее модуль равен начальной кинетической энергии лодки, что является следствием закона сохранения энергии.
 Обозначим, скорость изменения функции X(t):

 Рассмотрим, как изменяется эта величина.
 Исходное уравнение (3), с учетом введенного обозначения, имеет вид

 Перейдем к уравнению для малых изменений

и разделим его на интервал времени

 Таким образом, мы получаем неожиданный результат: если некоторая величина X подчиняется уравнению (3), то скорость ее изменения подчиняется такому же уравнению

Из этого уравнения выразим

здесь мы воспользовались определением скорости изменения функции ΔX = VΔt.
 Обратите внимание, отношение изменения скорости к изменению самой величины есть величина постоянная

 Очевидно, то решением этого уравнения является функция (11), график которой показан на рис. 538.

рис. 538

 Применим рассмотренные преобразования к уравнению (1а), описывающему движение лодки. Исходное уравнение имеет вид

 В данном случае скорость изменения скорости Δv/Δt = a − есть ее ускорение. Поэтому зависимость ускорения от времени описывается таким же уравнением:

Но, ничто не мешает сделать и обратный ход: так как скорость связана с изменением координаты лодки соотношением v = Δx/Δt, то для изменения координаты справедливо такое же уравнение

Наконец, зависимость скорости от координаты описывается уравнением

Из которого следует, что скорость линейно убывает с ростом пройденного пути

 Последнему соотношению можно придать физический смысл. Из второго закона Ньютона следует, что изменение импульса тела равно импульсу действующей силы:

где учтено, что действующая сила определяется формулой F = −βv, а vΔt = Δx. Отсюда и следуют полученное ранее уравнение (11 а).
 В заключение рассмотрим поведение функции X(t), изменение которой подчиняется уравнению

 Преобразуем это уравнение к виду

Если функция

то скорость ее изменения равна нулю, поэтому это значение не будет изменяться с течением времени, оно является стационарным. Обозначим отклонение функции от ее стационарного значения

Для этого отклонения справедливо уравнение

только что изученное нами. Для него справедливы все полученные выводы. Таким образом, уравнение (12) описывает переход к стационарному состоянию, в ходе которого скорость изменения функции пропорциональна ее отклонению от стационарного значения. Это уравнение (10) лучше переписать в виде

в котором все параметры имеют явный смысл:

стационарное (равновесное) значение функции, к которому стремится решение уравнения (12) не зависимо от начального значения; τ = 1/a − характерное время перехода к стационарному значению.
На рис. 539 иллюстрирует решение этого уравнения, кривая X1(t) показывает выход к стационарному значению из нулевого начального значения.

рис. 539

Задание для самостоятельной работы.
1. Рассмотрите движение лодки под действием постоянной силы тяги и силы сопротивления, пропорциональной скорости. Покажите, что это движение описывается уравнением вида (12), определите параметры этого уравнения. Качественно проанализируйте решение этого уравнения.


1С этим разделом желательно разобраться, полученные здесь результаты будут неоднократно использованы в дальнейшем! С той же целью в этом разделе формулы нумеруются с буквой «М» − математическая.
2Мы же решаем квадратные уравнения, не задумываясь, что такое «икс» − метры, секунды или стулья!
3Не пугайтесь и сомневайтесь, математики строго доказали эту формулу, и даже дали ей название «второй замечательный предел». Здесь e = 2,71828… − одна из основных математических констант. А полученная функция и есть «страшная» экспонента − фактически та же геометрическая прогрессия, только при очень малом временном шаге!
4А это уже интеграл!