on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 18 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

51.2 Движущийся проводник в магнитном поле.

 Сегодня почти очевидно, никакая конфигурация постоянного магнитного поля не может привести к возникновению постоянного электрического тока. Для поддержания тока в электрической цепи, как мы знаем, должен быть источник сторонних сил, который совершает работу по преодолению сил сопротивления. Магнитное поле действует только на движущиеся заряды, причем силы действующая на заряд (сила Лоренца) перпендикулярна вектору скорости частицы, поэтому она работы не совершает. Наконец, если бы стационарное магнитное поле могло поддерживать электрический ток, то это был прямой путь к созданию «вечного двигателя», то есть к «бесплатному» получению энергии. Действительно, если поле стационарно, то его энергия не изменяется, а гипотетический электрический ток обладает энергией и способен совершать работу. Следовательно, для возникновения ЭДС в контуре, должен существовать внешний источник энергии. Энергия в контур может поступать благодаря работе внешних сил. Рассмотрим группу простых мысленных экспериментов, допускающих простое теоретическое описание. Пусть цилиндрический проводник движется в постоянном магнитном поле, так что вектор скорости v перпендикулярен оси цилиндра, а вектор индукции магнитного поля B перпендикулярен, как оси проводника, так и его скорости (рис. 509).


рис. 509

 Вместе с проводником движутся и свободные заряды, находящиеся внутри него. Со стороны магнитного поля на эти заряды будут действовать силы Лоренца, направленные, в соответствии правила левой руки, вдоль оси проводника.
 Наиболее известными проводниками являются металлы, где свободными зарядами являются отрицательно заряженные частицы − электроны. Однако здесь и в дальнейшем мы будем рассматривать движение положительно заряженных частиц, потому, что за направление тока принимают направление положительных частиц.
 Как правило, свободные заряды движутся в проводнике хаотически равновероятно во все стороны, поэтому в неподвижном проводнике среднее значение вектора силы Лоренца равно нулю. При движении проводника на хаотическое тепловое движение свободных зарядов накладывается направленное движение проводника целиком, благодаря чему появляется отличная от нуля результирующая сила Лоренца, одинаковая для всех частиц. Именно эта постоянная сила приводит к возникновению электрического тока − направленного движения заряженных частиц. Это дает веские основания не принимать во внимание бурное, но хаотическое тепловое движение.
 Под действием силы Лоренца свободные заряды начнут смещаться к торцам цилиндра, где будут индуцироваться электрические заряды, описываемые поверхностными плотностями ±σ. В свою очередь, эти заряды начнут создавать электрическое поле, действие которого на заряженные частицы будет направлено в сторону противоположную силе Лоренца. При постоянной скорости движения проводника установится равновесие, при котором движение зарядов прекратится, но в проводнике будет существовать электрическое поле, созданное индуцированными зарядами. В установившемся режиме сила Лоренца FЛ = qvB, действующая на частицу, будет уравновешена силой со стороны электрического поля Fэл = qE. Приравнивая эти силы, определим напряженность электрического поля в проводнике

Так сила Лоренца одинакова во всех точках проводника, то и электрическая сила также должна быть постоянна, то есть возникшее электрическое поле является однородным. Это электрическое поле можно также характеризовать разностью потенциалов между торцами цилиндра, которая равна

где l − длина проводника.
Сила Лоренца, действующая на свободные заряды в проводнике, может являться сторонней силой, то есть приводить к возникновению электрического тока в замкнутом контуре, если его подключить к движущемуся проводнику.
 Пусть рассматриваемый проводник AC может скользить по двум параллельным шинам (рельсам), соединенным между собой (рис. 510).

рис. 510

 Вся система помещена в однородное магнитное поле, вектор индукции которого B перпендикулярен плоскости шин. Для упрощения будем считать, что сопротивления шин и движущегося проводника (перемычки) пренебрежимо малы по сравнению с сопротивлением соединяющего резистора R.
 Если к подвижному проводнику приложить внешнюю силу F, как показано на рисунке, то он придет в движение. Под действие силы Лоренца свободные заряды в проводнике придут в движение, создавая избыточные заряды на концах. Эти заряды создадут электрическое поле во всем контуре, образованном перемычкой, шинами и соединяющим резистором, поэтому в контуре возникнет электрический ток. Сила Лоренца, действующая на заряды движущегося проводника, будет играть роль сторонней, преодолевающей силы, действующие со стороны электрического поля. Работа этой силы по перемещению единичного заряда (то есть ЭДС) равна произведению силы Лоренца на расстояние между шинами

 Не смотря на то, что это выражение для ЭДС полностью совпадает с формулой (2) для разности потенциалов, ее смысл принципиально иной. Разность потенциалов − есть возможная работа сил электрического поля, в рассматриваемой цепи направление движения заряженных частиц противоположно направлению силы со стороны электрического поля. Сила Лоренца совершает работу против сил электрического поля, поэтому она и является сторонней. Электрическое поле совершает положительную работу, «проталкивая» заряженные частицы по шинам и соединяющему резистору (которые в данном случае образуют внешнюю цепь).
 По закону Ома сила возникшего в цепи электрического тока равна

 Так как по проводнику идет электрический ток, то на него со стороны магнитного поля действует сила Ампера, равная

 Направление этой силы также определяется «правилом левой руки», с помощью которого легко определить, что эта сила направлена в сторону, противоположную вектору скорости, поэтому формулу (5) можно записать в векторном виде

 По своему характеру эта сила полностью совпадает с силой вязкого трения (пропорциональна скорости и направлена в противоположную сторону), поэтому ее часто называют силой магнитной вязкости.
 Таким образом, на движущуюся перемычку, помимо постоянной внешней силы F, действует сила магнитной вязкости, зависящей от скорости. Уравнение второго закона Ньютона для перемычки имеет вид (в проекции на направление вектора скорости):

 Под действием этих сил сначала перемычка будет двигаться ускорено, причем с увеличением скорости модуль ускорения будет уменьшаться, наконец, перемычка станет двигаться с постоянной скоростью, которая называется скоростью установившегося движения v. Величину этой скорости можно найти из условия F = FA, из которого следует

 Рассмотрим теперь преобразование энергии в данной системе в установившемся режиме движения. За промежуток времени Δt перемычка смещается на расстояние Δx = vΔt, следовательно, внешняя сила при этом совершает работу

 За это же время на резисторе выделится количество теплоты равное

 Как и следовало ожидать, количество выделившейся теплоты в точности равно работе внешней силы. Поэтому источником энергии электрического тока в контуре является устройство, передвигающее перемычку (таким устройством может быть и ваша рука). Если прекратится действие этой силы, то и ток в контуре исчезнет.
Задания для самостоятельной работы.
1. Объясните, почему при индукции магнитного поля стремящейся к нулю, скорость перемычки, рассчитанная по формуле (8) стремится к бесконечности.
2. Объясните, почему с ростом сопротивления резистора скорость перемычки возрастает.
3. Покажите, что в процессе разгона работа внешней силы равна сумме изменения кинетической энергии перемычки и количества теплоты, выделяющейся на перемычке.

 В данном случае магнитное поле играет роль своеобразного посредника, способствующего преобразованию энергии внешнего источника (создающего внешнюю силу) в энергию электрического тока, которая затем преобразуется в тепловую энергию. Само же внешнее магнитное поле при этом не изменяется.
Оговорка о внешнем поле в данном случае не случайно, индуцированный в контуре электрический ток создает свое собственное магнитное поле1 B/. По правилу буравчика это поле направлено противоположно внешнему полю B (рис. 511).


рис. 511

 Направим теперь направление внешней силы на противоположное. При этом изменятся направления движения перемычки, силы Лоренца, электрического тока в контуре и индукции магнитного поля этого тока (рис. 512).

рис. 512

 То есть в этом случае направление вектора индукции B/ будет совпадать с направлением внешнего поля B. Таким образом, направление индуцированного поля определяется не только направлением внешнего поля, но и направлением движения перемычки.
 Подчеркнем, сила Ампера, играющая роль силы вязкости, и в этом (и во всех других) случае противоположна скорости движения перемычки.
 Попытаемся сформулировать общее правило, позволяющее определить направление индукционного тока. На рис. 513 еще раз изображены схемы рассматриваемых экспериментов, если посмотреть на них сверху.

рис. 513

 Не зависимо от направления движения перемычки, ЭДС индукции в контуре по модулю определяется формулой (3), которую мы преобразуем к виду

где Δx = vΔt − расстояние, на которое смещается перемычка за промежуток времени Δt. Выражение, стоящее в числителе этого выражения равно изменению магнитного потока через контур

произошедшее вследствие изменения его площади. Теперь обратим внимание на направление этой ЭДС.
 Конечно, электродвижущая сила, как работа сторонних сил является скалярной величиной, поэтому говорить о ее направлении не совсем корректно.
 Однако в данном случае речь идет о работе сторонних сил по контуру, для которого можно определить положительное направление обхода. Для этого следует сначала выбрать направление положительной нормали к контуру (очевидно, что выбор этого направления произволен). Как и ранее примем за положительное направление «против часовой стрелки», если смотреть с конца вектора положительной нормали, соответственно направление «по часовой стрелке» будем считать отрицательным (рис. 514).

рис. 514

 В этом смысле можно говорить о знаке ЭДС: если при обходе в положительном направлении (т.е. «против часовой стрелки») сторонние силы совершают положительную работу, то и величину ЭДС будем считать положительной и наоборот.
 В данном случае положительное направление нормали совместим с направлением вектора индукции внешнего поля. Очевидно, что направление индукционного тока совпадает с направлением ЭДС.
 Согласно принятому определению в случае а) индуцируемая ЭДС и ток в контуре отрицательны, в случае б) − положительны. Можно обобщить: знак ЭДС противоположен знаку изменения магнитного потока через контур.
 Таким образом, ЭДС индукции в контуре равна изменению магнитного потока через контур, взятому с противоположным знаком:

 Полученному правилу можно дать несколько иную интерпретацию. Обратим внимание на направление магнитного поля, созданного индукционным током: при увеличении магнитного потока через контур, это поле противоположно индукции внешнего поля, при уменьшении магнитного потока, поле индукционного тока направлено так же, как внешнее поле. То есть, поле индукционного тока в контуре препятствует изменению магнитного потока через этот контур. Это правило является универсальным для данного явления и носит название правило Ленца2.
 Это правило тесно связано с законом сохранения энергии. Действительно, предположим противоположное: пусть направление индукции магнитного поля, созданного током в контуре усиливает изменение магнитного потока через контур. В этом случае мы получаем «саморазгоняющуюся» систему: если магнитный поток через контур случайно увеличился, то это приведет к появлению электрического тока, которые еще больше увеличит поток через контур, что приведет к еще большему возрастанию тока и т.д. Таким образом, получается, что без внешнего источника сила ток в контуре (и его энергия) неограниченно возрастает, что и противоречит закону сохранения энергии.
 Обратите внимание, что в данном рассуждении мы принимаем во внимание магнитный поток не только внешнего поля, но и поля, создаваемого индуцированным током. Это поле действительно надо учитывать: сила Лоренца, действующая на заряженные частицы, определяется полным магнитным полем в месте нахождения заряда, независимо от происхождения этого поля. Таким образом, посредством магнитного поля электрический ток способен воздействовать сам на себя − изменяющийся ток создает изменяющееся магнитное поле, которое влияет на электрический ток. Это явление называется самоиндукцией, более подробно мы познакомимся с ним позднее. Здесь же отметим, что во многих случаях этим явлением можно пренебречь, так как обычно индуцированные поля достаточно слабы.
 Можно также показать, что с правилом Ленца связано и направление силы магнитной вязкости, которая всегда противоположна скорости движения проводника в магнитном поле.
 Самое широкое обобщение правила Ленца «на все случаи жизни» звучит так: следствие стремится уменьшить причину. Попробуйте самостоятельно придумать примеры из различных разделов наук, когда это правило справедливо. Сложнее (хотя и возможно) придумать примеры, когда это правило не применимо.
Рассмотрим еще один пример возникновения ЭДС в проводящем контуре, движущемся в магнитном поле. Пусть поле создается цилиндрическим постоянным магнитом, а круговой контур L движется со скоростью v вдоль оси этого магнита, так, что плоскость контура остается все время перпендикулярной оси магнита (рис. 515).

рис. 515

 В этом случае магнитное поле не является однородным, но обладает осевой симметрией. При движении проводника в этом поле, на заряженные частицы действует сила Лоренца, направленная вдоль проводника, постоянна по модулю на всем контуре. В этом случае сила Лоренца опять выступает в качестве сторонней силы, приводящей к возникновению электрического тока в контуре. Работа этой силы по перемещению заряда по замкнутому контуру отлична от нуля, поэтому эта сила не является потенциальной. Вычислим ЭДС индукции, возникающей в контуре. На заряженную частицу действует сила, равная

где Br − компонента вектора индукции, перпендикулярная вектору скорости проводника, в данном случае она направлена радиально. Так как эта сила на всем контуре направлена по касательной к контуру и постоянна по модулю, то ее работа по перемещению единичного заряда, то есть ЭДС, равна

где L − длина контура. Чтобы найти выражение для радиальной составляющей вектора индукции воспользуемся теоремой о магнитном потоке. В качестве замкнутой поверхности выберем тонкий цилиндр толщиной Δz = vΔt, ось которого совпадает с осью магнита, а радиус равен радиусу контура (рис. 516).

рис. 516

 Магнитный поток через эту поверхность представим в виде суммы потоков через нижнее основание Фо, через верхнее основание Ф1 и через боковую поверхность

 Сумма этих потоков равна нулю

 Теперь соотнесем эти поверхности с рассматриваемым контуром.
 Боковая поверхность цилиндра есть поверхность, которую заметает рассматриваемый контур, поэтому мы связали высоту цилиндра со скоростью движения контура. Нижнее основание опирается на положение контура в некоторый момент времени t. По договоренности положительной нормалью для замкнутой поверхности считается внешняя нормаль (они изображена на рисунке как no и n1). При описании магнитного потока через контур3 мы договорились считать положительным направлением нормали, направление «по полю». То есть поток через контур противоположен потоку через часть замкнутой поверхности. Поэтому в данном случае Фо = −Ф(t), где Ф(t) − поток через контур, в момент времени t. Поток через верхнее основание есть поток через контур в момент времени t + Δt

 Еще один аргумент в пользу изменения знака в потоке через нижнее основание − если мы рассчитываем изменение потока, то должны же мы направление нормали сохранять неизменным.
 Теперь соотношение (16) перепишем в виде

 Из которого выразим ЭДС индукции в контуре (определяемой формулой (15))

 Мы получили ту же формулу для ЭДС индукции в контуре, что и в предыдущем примере.
В рассмотренном примере магнитный поток через контур уменьшается, так как при увеличении расстояния от магнита индукция поля уменьшается. Поэтому в соответствии с полученной формулой и правилом Ленца ЭДС индукции в контуре положительна, кроме того, индукционный ток создает магнитное поле, направленное так же, как и поле постоянного магнита.
 Обратите внимание, что в приведенном выводе мы не делали никаких предположений о зависимости вектора индукции поля от координат. Единственное предположение заключалось об осевой симметрии поля. Однако и его можно снять, для этого при вычислении ЭДС по контуру просто необходимо разбить последний на малые участки, а затем просуммировать работу силы Лоренца по всем участкам.
Задания для самостоятельной работы.
1. Рассмотрите направление поля, созданного индуцированным током в схеме на рис. 515, покажите, что правило Ленца выполняется.
2. Покажите, что в схеме, показанной на рис. 515, сила Ампера, действующая на контур с индуцированным током, направлена в сторону противоположную его скорости.
3. Пусть произвольный контур за малый промежуток времени сместился из положения 1 в положение 2 в произвольном постоянном магнитном поле. Используя выражение для силы Лоренца и теорему о магнитном потоке, докажите в общем случае формулу (18) для ЭДС индукции в контуре.

рис. 517


1Ток, возникающий в контуре, называется индуцированным (наведенным), поэтому и создаваемое им магнитное поле можно назвать индуцированным. Но как тогда назвать его характеристику − «индукция поля, индуцированного благодаря явлению электромагнитной индукции»?
2Названо в честь русского ученого Эмиля Ленца, установившего и обобщившего его.
3Напомним − точнее надо говорить о потоке через любую поверхность натянутую (опирающуюся) на контур.