Вход в систему
События
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 54 гостя.
Яндекс.Метрика

5.1. Расчет средней скорости

 Составители различных сборников задач по физике очень любят задачи, в которых требуется рассчитать среднюю скорость (чаще всего путевую) на всем интервале движения, когда заданы значения скоростей на отдельных интервалах. Рассмотрим методику решения таких задач.
 Прежде всего запомните определение: средняя путевая скорость равна отношению всего пройденного пути ко всему времени движения. Так как это определение, то дискутировать о правильности такого определения нет смысла.
 1. Известно, что в течение промежутка времени Δt1 тело двигалось со скоростью v1; потом в течение промежутка времени Δt2 − со скоростью v2; потом в течение промежутка времени Δt3 − со скоростью v3 и так далее (пока у автора задачи не заговорит совесть). Мы же остановимся на трех интервалах. Необходимо рассчитать среднюю скорость за все время движения.
 Считая, что на каждом участке скорость постоянна, найдем весь путь, пройденный телом:

S = S1 + S2 + S3 = v1Δt1 + v2Δt2 + v3Δt3. (1)

Очевидно, что время движения равно сумме времени движения на всех интервалах:
t = Δt1 + Δt2 + Δt3. (2)

 По определению, средняя скорость за все время движения будет равна:
vcp = (v1Δt1 + v2Δt2 + v3Δt3)/(Δt1 + Δt2 + Δt3). (3)

 В общем случае, средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей на отдельных интервалах. Только в том случае, когда эти временные интервалы равны (Δt1 = Δt2 = Δt3), из формулы (3) следует, что средняя скорость равна среднему арифметическому:
vcp = (v1Δt1 + v2Δt1 + v3Δt1)/(Δt1 + Δt1 + Δt1) = (v1 + v2 + v3)/3. (4)

 2. Известно, что тело прошло участок пути S1 со скоростью v1, потом участок пути S2 со скоростью v2, наконец, участок пути S3 со скоростью v3. Рассчитаем среднюю скорость за все время движения.
 Понятно, что весь пройденный путь равен:
S = S1 + S2 + S3. (5)

 Несложно найти и время движения (если не забыли, что при равномерном движении время равно отношению пути к скорости):
t = Δt1 + Δt2 + Δt3 = S1/v1 + S2/v2 + S3/v3. (6)

 Теперь подставим эти выражения в формулу для средней скорости и получим достаточно громоздкое выражение:
vcp = S/t = (S1 + S2 + S3)/(S/v1 + S/v2 + S/v3). (7)

Этой формуле можно придать более красивый вид:
(S1 + S2 + S3)/vcp = S1/v1 + S2/v2 + S3/v3. (8)

 Мы уже отмечали, что величина, обратная скорости, имеет смысл времени, которое необходимо для преодоления единицы пути.
Назовем1 эту величину «проходимостью». Тогда если отдельные участки пути одинаковы
S1 = S2 = S3,

то из формулы (8) следует, что средняя «проходимость» равна среднему арифметическому от «проходимостей» на различных одинаковых по длине участках:
1/vcp = (1/3) × (1/v1 + 1/v2 + 1/v3). (9)

1Термин неофициальный!
Задачи для самостоятельной работы на среднюю скорость.


комментарий от znamenski
 Любопытным для меня показался этот параграф учебника
 В английском языке есть два термина скорости:

  1. Speed,
  2. Velocity.

 В одном случае (Speed) это скаляр и равен полному пройденному пути (дистанции, длины траектории) делённому на время в пути.
 В другом случае (Velocity) , это вектор, и он равен смещению, делённому на время в пути.
 Я и не знал, как в русском языке различают эти скорости, но вот прочитал, что первое − это путевая скорость.
 Это стандартный, формально утвержденный термин?
 С терминами часто происходит путаница. Что является, например, весом тела? Сейчас во многих учебниках я читаю определение веса тела, как термина, тождественного силе гравитационного притяжения тела.
 Во времена, когда я был абитуриентом, мы знали, что весом тела называется сила, с которой тело действует на опору или на подвес. Сейчас это во многих учебниках называют кажущимся весом.
 И мне понравилось в параграфе, что автор ввёл новый термин "проходимость".
 Неужели нет для величины обратной скорости официального термина?
 Спортсмены, например, используют термин "темп бега".
 В связи с этим вспоминаю, что студенты, уже знакомые с интегралами легко решают задачу:

 *Дана функция зависимости скорости от времени v = v(t), найти пройденный путь.
И их ставит в тупик задача: Дана функция зависимости скорости от положения тела, например, при прямолинейном движении вдоль оси x дана функция v = v(x).
 Тело из точки А (x = xA) переместилось в точку Б (x = xB). Найти время, затраченное на это перемещение.


 Вообще раличают следующие средние скорости (такие понятия я встречал в задачниках):

  1. Средняя скорость перемещения
  2. Средняя путевая скорость
  3. Средняя перемещения вдоль заданного направления

 Подробно этот момент я разбирал здесь
 Что касается вопроса об велечине обратной скорости 1/vпроходимость, в книгах я его не встречал, кроме как в наших белоруских олимпиадах.