on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 29 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

46.3 Вектор момента силы − векторное произведение.

 Рассмотрим теперь понятие вектора момента силы. Ранее мы определили момент силы, как произведение момента силы на ее плечо. Покажем, что момент силы может быть описан как вектор и представлен в виде векторного произведения.
 Пусть произвольное твердое тело может вращаться вокруг фиксированной оси, с которой совместим ось Oz декартовой системы координат (рис. 408).


рис. 408

Пусть сила F приложена к точке A, расположенной в плоскости xOy, на расстоянии r/ от оси вращения (положение этой точки задается радиус-вектором r) и направлена перпендикулярно плоскости xOy (следовательно, и перпендикулярно оси вращения). Действие этой силы приведет к вращению тела вокруг оси, которое может быть описано вектором угловой скорости ω, направленным вдоль этой же оси. Разумно определить вектор момента силы так, чтобы он был направлен тоже вдоль оси вращения1. В нашем случае модуль вектора момента силы равен произведению

можно заметить, «правильное» направление этого вектора будет задано, если определить его как векторное произведение

Эта формула дает самое строгое определение вектора момента силы.
 В общем случае, Когда вектор приложенной силы F не направлен перпендикулярно оси вращения, его можно разложить на три составляющие (рис. 409):

рис. 409

− радиальную Fr, направленную вдоль прямой, соединяющей точку приложения силы с осью вращения;
− тангенциальную Fτ, направленную параллельно оси вращения;
− нормальную Fn, направленную перпендикулярно плоскости, в которой лежит ось вращения и точка приложения силы.
 Первые две составляющие не смогут раскрутить тело, так как они будут скомпенсированы силами реакции в опорах фиксированной оси, и только нормальная составляющая силы будет определять характеристики вращения (прежде всего − угловое ускорение). Именно поэтому эта составляющая входит в определение момента силы вдоль оси вращения.
 Отметим, что если на тело действует несколько сил, приложенных в разных точках, то вращающее действие этих сил определяется суммой моментов всех действующих сил.
 В общем случае момент силы рассчитывается относительно какой-либо точки и равен векторному произведению радиус-вектора точки приложения на вектор силы. Следовательно, вектор момента силы, направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат радиус-вектор точки приложения и вектор силы (рис. 410).

рис. 410

 Наконец, докажем, в простейшем частном случае, важное свойство суммы моментов сил. Пусть на стержень действует несколько сил, причем их векторная сумма равна нулю (рис. 411):

рис. 411


 Суммарный момент сил, действующих на стержень относительно какой либо точки O равен

 Вычислим суммарный момент этих же сил, относительно другой точки O/ (можно говорить и относительно другой оси) Относительно этой оси радиус-векторы точек приложения сил будут отличаться на постоянный вектор сдвига между осями a:

Поэтому момент сил относительно «новой» оси описывается выражением

Так как сумма сил равна, то обращается в нуль и второе слагаемое, следовательно, в этом случае

 Иными словами: если векторная сумма сил равна нулю, то суммарный момент этих сил не зависит от точки, относительно которой рассчитываются моменты этих сил.
 Простейшим, но часто встречающимся примером, такого воздействия на тело является пара сил:
когда на тело действуют две силы, равные по величине, противоположные по направлению, но приложенные к разным точкам тела. Момент пары сил равен произведению модуля одной из сил на расстояние между прямыми, вдоль которых действуют силы2. Вектор момента пары сил перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы действующих сил (рис. 412):

рис. 412


1Данное высказывание не совсем точно: более строго следует говорить, что вектор момента силы указывает направление изменения вектора угловой скорости, то есть совпадает с направлением вектора углового ускорения. Однако, в рассматриваемом здесь случае все три вектора момента силы, угловой скорости и углового ускорения направлены вдоль одной оси − фиксированной оси вращения.
2Не путайте − именно расстояние между линиями действия сил, а не расстояние между точками приложения этих сил!