on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 46 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика


Индукция магнитного поля.

 Прежде чем дать строгое определение характеристик магнитного поля нам необходимо сделать небольшое физико-математическое отступление, что бы познакомиться с еще одной операцией над векторами − векторным произведением.

46.2 Вектор угловой скорости − векторное произведение.

 Рассмотрим еще раз вращательное движение твердого тела. Чтобы однозначно задать кинематические характеристики такого движения необходимо указать ось вращения и величину угловой скорости (рис. 405).


рис. 405

 Фактически, как и в случае поступательного движения, необходимо указать величину и направление, что удобно сделать в единой векторной форме. Определим1 угловую скорость как вектор, величина которого численно равна угловой скорости, и направленный вдоль оси вращения, причем, если смотреть с конца этого вектора, то вращение направлено против часовой стрелки. Исторически сложилось2, что положительным направлением вращения считается вращение «против часовой стрелки», хотя, конечно, выбор этого направления абсолютно условен.
 Для определения направления вектора угловой скорости можно также воспользоваться «правилом буравчика» (которое также называется «правилом правого винта») − если направление движения ручки буравчика (или штопора) совместить с направлением вращения, то направление движения всего буравчика совпадет с направлением вектора угловой скорости.
 Посмотрим, как можно теперь найти линейную скорость произвольной точки A вращающегося тела, находящейся на расстоянии r/ от оси вращения. Тогда модуль скорости точки A будет равен VA = ωr/. Направлен этот вектор перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и рассматриваемую точку.
Введем теперь систему координат, начало которой, точка O, находится на оси вращения (рис. 406).

рис. 406

Тогда положение произвольной точки A задается радиус-вектором r, соединяющим начало отсчета с выбранной точкой. Модуль скорости этой точки можно рассчитать по формуле

где r/ = rsinα − расстояние до оси вращения, α − угол между векторами ω и r. Направлен вектор скорости V перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы ω и r. Так давайте, определим новую математическую операцию над векторами ω и r, такую, чтобы ее результатом был вектор V.
Естественно, что такая операция была придумана до нас и называется она векторным произведением

Определение. Векторным произведением двух векторов A и B, называется вектор

модуль которого равен

где α − угол между векторами-сомножителями A и B, отсчитываемый от первого сомножителя ко второму; направлен вектор произведения перпендикулярно каждому из векторов-сомножителей в такую сторону, чтобы кратчайший поворот, от первого сомножителя A ко второму B проходил против вращения часовой стрелки, если смотреть с конца вектора C.
 Отметим, что модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях.
 Для того чтобы найти результат векторного произведения

произвольных векторов A и B по определению необходимо проделать следующее (рис. 407):

рис. 407

 1) построить плоскость, проходящую через векторы сомножители A и B;
 2) восстановить перпендикуляр к этой плоскости (вектор произведения направлен вдоль этого перпендикуляра);
 3) Выбрать такое направление вектора C, чтобы ближайший поворот от первого сомножителя A ко второму B проходил против часовой стрелки;
 4) Рассчитать длину (модуль) вектора произведения по формуле (3).
 Направление вектора произведения также можно определять по правилу правого винта: если вращать ручку буравчика от первого сомножителя ко второму, то направление его движения укажет направление вектора произведения.

Задание для самостоятельной работы.
 1. Проверьте, пользуясь определением векторного произведения, справедливость формулы (2), связывающей линейную и угловую скорости точки.

 Укажем также некоторые свойства векторного произведения, которые легко доказать, исходя из определения.
1. При изменении порядка сомножителей направление произведения изменяется на противоположное


 Обратите на это свойство особое внимание, наверно, вы впервые вы встречаетесь с ситуацией, когда «от перемены мест сомножителей произведение… меняется!», поэтому при выполнении операций, включающих векторное произведение, необходимо тщательно следить за порядком следования сомножителей. Можно также сказать, что для векторного произведения не выполняется коммутативный закон.
2. Для векторного произведения справедлив ассоциативный закон


1Именно дадим определение, потому, что все физические величины «придуманы» человеком, реально же существует движущееся тело, а как мы его описываем − дело нашего воображения. Раньше мы обходились без векторного описания, да и векторное исчисление придумано значительно позже, чем была создана механика, даже Дж. К. Максвелл «не знал» векторов!
2 Может, в те времена часы ходили в другую сторону?