on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 7 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

46.11 Магнитное поле прямого тока.

 Рассчитаем индукцию магнитного поля, создаваемого бесконечным1 проводником, по которому протекает электрический ток силой I (рис. 436)


рис. 436

 Методика расчет остается прежней: мысленно разбиваем проводник на малые участки (IΔl)k. По закону Био-Саварра в произвольной точке A, находящейся на расстоянии R от проводника, произвольный элемент тока создает магнитное поле, вектор индукции которого ΔBk направлен перпендикулярно плоскости, содержащей проводник и рассматриваемую точку (на рис. 436 − перпендикулярно плоскости рисунка), модуль этого вектора равен

где rk − расстояние от выбранного участка проводника до точки наблюдения, αk − угол между проводником и направлением от элемента тока до точки наблюдения.
 Договоримся об еще одном общепринятом соглашении. Достаточно часто приходится изображать векторы, перпендикулярные плоскости рисунка. В этом случае эти векторы изображаются в виде (рис. 437):

рис. 437

небольшого кружка с точкой в центре, если вектор направлен «на нас» (видно «острие» вектора); кружка с перекрестием, если вектор направлен от нас (видно «оперение» вектора).
 Векторы полей, созданных всеми другими участками проводника, направлены так же, поэтому суммирование векторов в данном случае сводится к суммированию их модулей. Но даже вычислить сумму модулей не просто, так как для различных участков проводника расстояния rk и αk различны. Тем не менее, такое суммирование выполнимо, его результат выражается формулой, определяющей величину индукции магнитного поля бесконечного прямого тока

здесь не приведено вычисление последней суммы, которая равна

поверьте пока в справедливость полученного выражения, хотя бы потому, что оно имеет богатый физический смысл. Во-первых, эта формула совпадает с выражением для напряженности электрического поля, создаваемого бесконечной прямой равномерно заряженной нитью; во-вторых, оно соответствует результату опытов А.М. Ампера по изучению взаимодействия параллельных токов. Действительно, если один проводник создает магнитное поле, индукция которого обратно пропорциональна расстоянию до проводника, то на второй проводник действует сила Ампера, пропорциональная индукции поля, то есть обратно пропорциональная расстоянию между проводниками.
 Дадим теперь строгий вывод формулы для суммы, фигурирующей в выражении (2). Проще всего она выводится с помощью операции интегрирования, но здесь мы дадим ее геометрический вывод. Для начала с помощью рис. 436 преобразуем каждое слагаемое этой формулы

 Заметим, что произведение Δlksinαk равно длине отрезка CD, перпендикулярного вектору rk

 Отношение же длины этого отрезка к расстоянию rk для малых длин элементов тока равно малому углу Δak, под которым виден выделенный участок проводника

(точнее, это отношение равно тангенсу угла, который для малых углов равен самому углу, измеренному в радианах). Из того же рисунка следует, что отношение rk/sinαk = R равно расстоянию от точки наблюдения до проводника и не зависит от выбора участка проводника. С учетом этого соотношения и формулы (2) получим

 Таким образом, вычисление суммы (2) сводится к вычислению суммы

в которой все углы являются малыми (поэтому число слагаемых велико), пусть углы αk изменяются от нуля до некоторого предельного значения αmax.
 Для вычисления этой суммы применим искусственный прием (он встретится нам и в дальнейшем). Возьмем окружность (рис. 438)

рис. 438

радиуса R и разобьем ее точками Co, C1, C2, …, CN на малые участки, угловой размер каждого равен Δα.
 Хорды, которые образованы точками разбиения будем рассматривать как векторы

 Сумма этих векторов очевидна − это вектор A, соединяющий начальную и конечную точки разбиения окружности:

 Теперь, внимание, если справедливо векторное равенство, то справедливо аналогичное выражение для любой проекции этих векторов. Введем декартовую систему координат с началом в центре окружности, ось Ox которой проходит через начальную точку. Длины построенных вписанных векторов равны k| = RΔαk (точнее, это длина дуги, но для малых углов, длина стягивающей хорды стремится к длине дуги). Из рис. 438 следует, что проекции этого вектора на оси координат равны, соответственно,

 Проецируя равенство (4) на оси координат получим

 Проекции суммарного вектора A на оси координат находятся просто

Сравнивая выражения (5) и (6) получим искомые формулы

 Еще раз подчеркнем, что суммирование в этих формулах проводится в пределах изменения угла от нуля до предельного значения αmax.
 Осталось принять во внимание, что бесконечный прямой проводник виден из любой точки вне его под углом αmax = π, поэтому искомая сумма выражается формулой

что и требовалось доказать.
 Оценим длину «бесконечного» в данном случае проводника − во сколько раз длина проводника должна быть больше расстояния до точки наблюдения, что бы погрешность расчета индукции поля по формуле (2), примененной к проводнику конечной длины, была пренебрежимо малой.
Пусть длина прямого проводника равна l, а индукция поля рассчитывается в точке A, находящейся на расстоянии r (считаем, что r << l) от центра проводника (рис. 439).

рис. 439

 С помощью полученных формул (7) можно получить точное выражение для индукции поля в рассматриваемой точке

где αo − угол между проводником и направлением на точку наблюдения с конца проводника.
 Если считать проводник бесконечно длинным, то индуктивность поля должна рассчитываться по формуле (которую в данном случае следует считать приближенной)

 Относительная погрешность этой формулы равна2

 Такая ошибка будет допущена, если отношение длины проводника к расстоянию до точки наблюдения равно

 Так для относительной ошибки ε = 1 % искомое отношение равно l/r ≈ 15. Итак, в рассмотренном случае «бесконечность» равна 15.


1Конечно, «бесконечно длинный» значит, что его длина значительно превышает расстояние до той точки, где измеряется поле.
2Используя известную приближенную формулу (1 + x)β ≈ 1 + βx (в данном случае β = 1/2).