on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 33 гостя.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

46.10 Магнитное поле кругового тока.

 Пусть постоянный электрический ток силой I протекает по плоскому круглому контуру радиуса R. Найдем индукцию поля в центре кольца в точке O (рис. 431).


рис. 431

 Мысленно разобьем кольцо на малые участки, которые можно считать прямолинейными, и применим закон Био-Саварра-Лапласа для определения индукции поля, создаваемого этим элементом, в центре кольца. В данном случае вектор элемента тока (IΔl)k и вектор rk, соединяющий данный элемент с точкой наблюдения (центр кольца), перпендикулярны, поэтому sinα = 1. Вектор индукции поля, созданного выделенным участком кольца, направлен вдоль оси кольца, а его модуль равен

 Для любого другого элемента кольца ситуация абсолютно аналогична − вектор индукции также направлен по оси кольца, а его модуль определяется формулой (1). Поэтому суммирование этих векторов выполняется элементарно и сводится к суммированию длин участков кольца

 Усложним задачу − найдем индукцию поля в точке A, находящейся на оси кольца на расстоянии z от его центра (рис. 432).

рис. 432

 По-прежнему, выделяем малый участок кольца (IΔl)k и строим вектор индукции поля ΔBk, созданным этим элементом, в рассматриваемой точке. Это вектор перпендикулярен вектору r, соединяющему выделенный участок с точкой наблюдения. Векторы (IΔl)k и rk, как и ранее, перпендикулярны, поэтому sinα = 1. Так кольцо обладает осевой симметрией, то суммарный вектор индукции поля в точке A должен быть направлен по оси кольца. К этому же выводу о направлении суммарного вектора индукции можно прийти, если заметить, что каждому выделенному участку кольца имеется симметричный ему с противоположной стороны, а сумма двух симметричных векторов направлена вдоль оси кольца. Таким образом, для того чтобы определить модуль суммарного вектора индукции, необходимо просуммировать проекции векторов на ось кольца. Эта операция не представляет особой сложности, если учесть, расстояния от всех точек кольца до точки наблюдения одинаковы rk = √{R2 + z2}, а также одинаковы углы φ между векторами ΔBk и осью кольца. Запишем выражение для модуля искомого суммарного вектора индукции

 Из рисунка следует, что cosφ = R/r, с учетом выражения для расстояния r, получим окончательное выражение для вектора индукции поля

 Как и следовало ожидать, в центре кольца (при z = 0) формула (3) переходит в полученную ранее формулу (2).

Задания для самостоятельной работы.
1. Постройте график зависимости индукции поля (3) от расстояния до центра кольца.
2. Сравните полученную зависимость (3) с выражением для модуля напряженности электрического поля, создаваемого равномерно заряженным кольцом (36.6). Объясните возникшие принципиальные различия между этими зависимостями.

 Используя общий рассматриваемый здесь метод, можно рассчитать индукцию поля в произвольной точке. Рассматриваемая система обладает осевой симметрией, поэтому достаточно найти распределение поля в плоскости, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр. Пусть кольцо лежит в плоскости xOy(рис. 433),


рис. 433

а поле рассчитывается в плоскости yOz. Кольцо следует разбить на малые участки, видимые из центра под углом Δφ и просуммировать поля создаваемые этими участками. Можно показать (попробуйте проделать это самостоятельно), что компоненты вектора магнитной индукции поля, создаваемого одним выделенным элементом тока, в точке с координатами (y, z) рассчитываются по формулам:

 Необходимое суммирование не может быть проведено аналитически, так как при переходе от одного участка кольца к другому изменяются расстояния до точки суммирования. Поэтому «простейший» способ провести такое суммирование − использовать компьютер.
 Если же известно значение вектора индукции (или хотя бы имеется алгоритм его расчета) в каждой точке, то можно построить картину силовых линий магнитного поля. Очевидно, что алгоритм построения силовых линий векторного поля не зависит от его физического содержания, а такой алгоритм был кратко рассмотрен нами при изучении электростатики.
 На рис. 434 картина силовых линий рассчитана при разбиении кольца на 20 частей, этого оказалось вполне достаточно, так как и при 10 интервалах разбиения получался практически тот же рисунок.

рис. 434

 Рассмотрим выражение для индукции поля на оси кольца на расстояниях значительно больших радиуса кольца z >> R. В этом случае формула (3) упрощается и приобретает вид

где IπR2 = IS = pm − произведение силы тока на площадь контура, то есть магнитный момент кольца. Эта формула совпадает (если как обычно, заменить μo в числителе на εo в знаменателе) с выражением для напряженности электрического поля диполя на его оси.
 Такое совпадение не случайно, более того, можно показать, что подобное соответствие справедливо для любой точки поля, находящейся на больших расстояниях от кольца. Фактически малый контур с током является магнитным диполем (два одинаковых малых противоположно направленных элемента тока) − поэтому его поле совпадает с полем электрического диполя. Чтобы ярче подчеркнуть этот факт, на рис. 435

рис. 435

приведена картина силовых линий магнитного поля кольца, на больших расстояниях от него (сравните с аналогичной картиной для поля электрического диполя).