on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 31 гость.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

42.4 Энергия поля и энергия взаимодействия зарядов.

 Рассмотрим еще раз взаимодействие двух точечных зарядов q1 и q2, находящихся на расстоянии r друг от друга. Мы показали, что энергия их взаимодействия рассчитывается по формуле


С другой стороны, мы показали, что электрическое поле обладает энергией, объемная плотность которой определяется формулой

 Для того чтобы рассчитать полную энергию электрического поля W, напряженность которого изменяется от точки к точке, необходимо разбить пространство, где существует поле, на малые объемы ΔVk, в каждом из которых вычислить плотность энергии поля wk (если изменяется напряженность поля, то изменяется и его плотность энергии), после чего просуммировать энергию по всему пространству, где существует поле (рис. 352)

рис. 352


Выполнить такое суммирование не всегда просто, но, тем не менее, такая операция вполне выполнима. В данном случае нас интересуют не математические проблемы, связанные с вычислением подобных сумм, а физический смысл получаемых результатов.
 Применим формулы (2) − (3) к расчету энергии поля, создаваемого двумя точечными зарядами. По принципу суперпозиции напряженность электрического поля в произвольной точке, окруженной объемом ΔVk, равна сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности (рис. 353)

рис. 353


Полную энергию поля запишем в виде1

 Прежде всего, обратим внимание, что для энергии поля принцип суперпозиции не выполняется − энергия системы зарядов не равна сумме энергий зарядов взятых по отдельности. Математическим выражением нарушения принципа суперпозиции является нелинейная зависимость энергии от напряженности поля − плотность энергии пропорциональна квадрату напряженности. Если напряженность поля увеличится в два раза, то плотность энергии увеличивается в четыре раза! Кстати, аналогичное заключение можно сделать и для полученной ранее энергии заряженной сферы − энергия пропорциональная квадрату заряда. Первое слагаемое в формуле (4)

полностью определяется зарядом q1 и не зависит от наличия второго заряда − это слагаемое описывает энергию поля, создаваемого этим зарядом. Аналогично, второе слагаемое

описывает энергию поля, создаваемого зарядом q2. Наконец, третье слагаемое

зависит от величин зарядов и от взаимного расположения. Аккуратное вычисление этой суммы приводит к результату2

 Таким образом, именно это слагаемое определяет энергию взаимодействия зарядов, которая является частью энергии электрического поля.
 Если сами заряды не изменяются, то первые два слагаемых в энергии поля (4) не изменяются при изменении взаимного расположения зарядов, поэтому их можно не учитывать. Вспомните − протекание всех физических процессов определяется изменением энергии, поэтому постоянная, не изменяющаяся часть энергии, для описания этих процессов не существенна.
 Мы показали, что энергия заряженной сферы обратно пропорциональна ее радиусу. Точечный заряд можно рассматривать как заряженную сферу бесконечно малого радиуса. При стремлении радиуса сферы к нулю (при сохранении ее заряда) энергия поля стремится к бесконечности − энергия поля точечного заряда бесконечно велика. Конечно, можно утверждать, что точечный заряд является математической абстракцией. Однако, до настоящего времени не известно никаких экспериментальных данных о том, что электрон имеет конечные размеры, поэтому должен рассматриваться как реально существующий точечный заряд. Эта серьезная проблема современной физики еще ждет своего разрешения.
 Аналогичным образом можно рассмотреть энергию поля, создаваемого несколькими точечными зарядами q1, q2, ... Энергия поля, рассчитанная с помощью принципа суперпозиции и формулы (3), представляется в виде

То есть энергия этого поля является суммой энергий полей отдельных зарядов и энергий всех парных взаимодействий.
 Ранее мы обещали показать, что энергия взаимодействия зарядов может быть представлена как сумма энергий парных взаимодействий. Полученное выражение (5) доказывает это утверждение. Действительно, если бы плотность энергии зависела от напряженности не квадратично, а по более сложному закону, то в полной энергии появились бы слагаемые, учитывающие тройные и другие взаимодействия.
 Таким образом, формулы (2) − (3) описывают полную энергию электрического поля, а формула (1) только ее часть − энергию взаимодействия, изменяющуюся при изменении взаимного расположения зарядов.
 Наконец, обсудим еще один парадокс, связанный с расчетами энергии электрического поля. При расчете энергии взаимодействия зарядов, распределенных по поверхности сферы, нами получен следующий результат

 Расчет полной энергии электрического поля равномерно заряженной сферы по формуле (3) приводит к тому же результату!
 Данное утверждение слишком важно, поэтому укажем пути его доказательства. Выделим сферический слой радиуса r и толщиной Δr, концентрический с заряженной сферой (рис. 354)

рис. 354

 Напряженность поля в пределах этого слоя равна (если пренебречь ее малым изменением)

Плотность энергии электрического поля определяется формулой

а объем слоя равен ΔV = 4πr2Δr, поэтому энергия, заключенная в слое, равна

 Для вычисления полной энергии электрического поля необходимо просуммировать это выражение по всем слоям, радиусы которых изменяются от радиуса сферы R, до бесконечности . Конечно, такое суммирование предполагает вычисление интеграла3

 Таким образом, кажется, что собственная энергия зарядов «исчезает». Покажем, что это противоречие возникло при разбиении заряда на бесконечно малые части.
 Если исходный заряд разбит на N частей, величиной δQ = Q/N каждый, то энергия взаимодействия этих зарядов между собой пропорциональна квадрату заряда (δQ)2 и числу взаимодействующих пар N(N − 1)/2.
Таким образом,

а при N → ∞, то есть энергия взаимодействия не зависит от числа частей, на которые мы мысленно разбиваем исходный заряд. Собственная энергия зарядов пропорциональна квадрату заряда (δQ)2 и их числу N, поэтому при N → ∞ собственная энергия стремится к нулю:

 Строго говоря, предельный переход δQ → 0 физически некорректен, так электрический заряд дискретен − существует минимальный электрический заряд. Тем не менее, учитывая малость элементарного заряда, наши расчеты обеспечивают достаточную точность.
 Кстати, при расчете энергии заряженной сферы (и энергии поля пластин), мы также пренебрегли слагаемым, пропорциональным 1/N. Для того, чтобы учесть дискретность заряда (то есть, заряжать сферу по одному электрону), следует положить N = Q/e, где е − элементарный заряд.
 Подведем итоги нашего ознакомления с проблемами энергетического описания взаимодействия зарядов. При вычислении энергии (не важно какой) важно четко помнить и понимать, что физический (следовательно, и практический) смысл имеет только та часть энергии, которая изменяется в описываемых процессах! Все постоянные составляющие энергии, безо всякого ущерба, могут быть отброшены, так как только изменение энергии определяет протекание процессов и их описание; только изменение энергии и связанные с ней физические величины (силы, работа и ее стоимость) могут быть экспериментально измерены и соотнесены с теоретическими расчетами!


1Квадрат вектора следует понимать как скалярное произведение вектора на себя.
Поверьте на слово, если не можете проверить.
Процедуру вычисления этого интеграла излагать не будем − ведь не можем мы включить в наш учебник и курс математического анализа!