on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 12 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика



42.2 Энергия взаимодействия двух равномерно заряженных параллельных пластин.


 Найдем энергию взаимодействия двух равных по модулю зарядов противоположного знака, равномерно распределенных по двум параллельным пластинам. Обозначим поверхностную плотность заряда на одной пластине , а на другой −σ. Расстояние между пластинами h будем считать значительно меньшим размеров пластин, площадь каждой пластины обозначим S (рис. 344).

рис. 344

Краевыми эффектами пренебрежем. Рассчитаем энергию взаимодействия тремя различными способами.

Способ 1. Формально-потенциальный.

 Для расчета энергии взаимодействия воспользуемся формулой U = qφ/ где φ/ − потенциал поля, создаваемого всеми зарядами, кроме заряда q.
Напряженность поля между пластинами была вычислена нами ранее, она равна
E = σ/εo. (5)

 Для «упрощения» расчетов положим потенциал отрицательно заряженной пластины равным нулю (рис. 345),

рис. 345

тогда потенциал другой пластины будет равен

здесь Δr − вектор перемещения от отрицательной пластины к положительной. Данная формула определяет потенциал поля, создаваемого зарядами на обеих пластинах.
 Теперь необходимо найти потенциал поля φ/, создаваемого только одной пластиной. Напряженность поля Е/, создаваемого одной пластиной в два раза меньше напряженности поля между пластинами

поэтому искомый потенциал будет равен

 Таким образом, энергия взаимодействия зарядов оказывается равной

здесь σS − заряд положительно заряженной пластины.
 Интересно отметить, что мы можем положить потенциал отрицательно заряженной пластины любым, результат расчета энергии при этом не изменится! Действительно, примем потенциал этой пластины равным φo (рис. 346),

рис. 346

тогда потенциал положительно заряженной пластины станет равным

 Энергию взаимодействия рассчитаем следующим образом

 Не смотря на то, что противоположно заряженные пластины притягиваются, их энергия оказалась положительной − в этом нет ничего удивительного. Это значит, что нулевой энергии соответствует положение, когда положительно заряженная пластина совпадает с отрицательно заряженной, то есть когда пластины совпадают, а электрическое поле отсутствует. Если пластины находятся на некотором расстоянии друг от друга, то при их сближении поле совершит положительную работу. Наоборот, чтобы разнести пластины, внешние силы должны совершить работу, увеличивая энергию системы. Это рассуждение позволяет нам предложить еще один способ расчета энергии взаимодействия пластин.

Способ 2. Рабоче-механический.

 Энергию рассматриваемой системы можно найти, рассчитывая работу внешних сил по разнесению пластин. На одну из пластин со стороны дру-гой действует сила электрического притяжения

причем эта сила не зависит от расстояния между пластинами. Для того, чтобы раздвинуть пластины на расстояние h, необходимо приложить внешнюю силу, равную по модулю силе электрического притяжения (рис. 347).

рис. 347

При этом эта сила совершит работу (равную увеличению энергии системы)

Таким образом, мы получаем ту же формулу для энергии рассматриваемой системы зарядов.

Способ 3. Рабоче-электрический.

 Создать рассматриваемую систему можно еще одним способом: считать пластины неподвижными, и небольшими порциями переносить заряд с одной пластины на другую (рис. 348).

рис. 348

 Очевидно, что при таком способе зарядки необходимо совершать работу, величина которой и будет равна энергии заряженных пластин. Рассчитаем эту работу. Итак, с нижней пластины забираем «горсть электронов», имеющую очень малый заряд −Δq и переносим их на верхнюю. Так как пластины не заряжены, то работа в этом случае не совершается. Если мы захотим перенести следующую малую порцию заряда, то уже придется совершить некоторую работу: нижняя пластина заряжена положительно, верхняя отрицательно, поэтому возникшее электрическое поле препятствует перемещению отрицательного заряда, нужно прикладывать силу, чтобы преодолеть силу электрического отталкивания. Для переноса каждой следующей порции заряда необходимо совершать все большую работу. Рассчитаем эту работу. Пусть мы перенесли (n − 1) порций зарядов, каждая из которых равна (−Δq), тогда нижняя пластина приобрела заряд +(n − 1)Δq, а верхняя, соответственно, заряд −(n − 1)Δq. При этом разность потенциалов между пластинами стала равной

 Чтобы перенести следующую n-ую порцию заряда, необходимо совершить работу

Просуммируем все эти работы

Далее учтем, что величина Δq предполагается малой, поэтому число перенесенных порций зарядов N = q/Δq велико. Следовательно, можно положить
N(N − 1) ≈ N2.

 В таком приближении формула (10) приобретает вид

 Таким образом, мы в третий раз приходим к той же формуле для энергии взаимодействия зарядов на пластинах.
 Приведем еще один возможный вывод (графический) этой формулы в рамках третьего подхода. На рис. 349

рис. 349

построен график линейной зависимости разности потенциалов между пластинами от заряда одной из них. Произведение δАn = ΔφΔq численно равно площади под этим графиком. Если считать Δq бесконечно малым, то суммарная площадь равна площади треугольника, заштрихованного на рисунке, т.е.

 Сумма площадей «темных» треугольников равна погрешности перехода от дискретного к непрерывному методу зарядки пластин.
 Итак, три способа вычисления энергии заряженных пластин приводят к одному результату. Настало время четко определить, о какой же энергии идет речь в данном случае. Все три способа расчета явно, или не явно, используют один и тот же «нулевой» уровень энергии − рассчитанная энергия рана нулю при h = 0 (или при q = 0). Второй и третий способы расчета основаны на очевидном (для тех, кто слышал о законе сохранения энергии) утверждении: работа внешних сил равна изменению энергии системы. Обратите внимание − нулевой уровень энергии соответствует отсутствию электрического поля (случай 2 − есть заряды, нет расстояния между ними; случай 3 − есть расстояние, нет зарядов). Иными словами, если нет электрического поля, то нет и энергии! Поэтому вполне логично рассмотреть связь между энергией взаимодействия зарядов и характеристиками электрического поля.
Используя соотношение между напряженностью поля между пластинами и поверхностной плотностью заряда σ = εЕ, выразим энергию взаимодействия через напряженность поля

 В процессе разнесения пластин создается электрическое поле во все большем объеме между пластинами, поэтому можно утверждать, что совершенная работа увеличивает энергию электрического поля, или работа расходуется на создание поля. Так, при смещении пластины на расстояние Δz, объем, занятый полем, увеличивается на SΔz, если расстояние между пластинами увеличилось от нуля до некоторого значения h, то поле создается в объеме Sh. Таким образом, найденная энергия взаимодействия зарядов (7) есть энергия электрического поля − энергия, «размазанная» по той области пространства, где создано поле. Косвенным подтверждением сделанного заключения является тот факт, что энергия взаимодействия пропорциональна объему части пространства V = Sh, занятого полем и выражается через характеристику поля (его напряженность) − в формуле (8) нет характеристик зарядов. Электрическое поле, уже благодаря своему существованию, обладает энергией.
 В качестве энергетической характеристики поля следует рассматривать энергию, содержащуюся в единице объема, то есть объемную плотность энергии: w = U/V. Из выражения (8) следует, что объемная плотность энергии электрического поля определяется формулой

 Как обычно, в неоднородном поле корректное определение плотности энергии «в данной точке» требует предельного перехода: плотностью энергии электрического поля называется отношение энергии поля, заключенной в малом объеме, к величине этого объема, при стремлении последнего к нулю