on-line
Сейчас на сайте 1 пользователь и 37 гостей.

Пользователи на сайте

  • fizportal.ru
Вход в систему
Яндекс.Метрика

41.3 Диэлектрики. Метод изображений для диэлектриков.

 Идеи метода изображений, развитые для описания поля в присутствии проводников, могут быть распространены и для описания поля в присутствии диэлектриков. Существенным отличием этих методов в случае диэлектриков является изменение (существенное усложнение) граничных условий. Если поверхность металла является эквипотенциальной, то на поверхности диэлектрика должны выполняться граничные условия для нормальных и тангенциальных составляющих векторов напряженности полей (7) − (8). Поэтому чаще всего приходится «угадывать» вид распределения поверхностной плотности поляризационных зарядов, что удается сделать только в редких случаях.
 Рассмотрим для примера электрического поля, создаваемое точечным зарядом q, который находится на расстоянии h от бесконечной плоской границы с бесконечным диэлектриком с проницаемостью ε.
 Предположим, что на плоской границе диэлектрика, взаимодействующего с точечным зарядом q, возникают поляризационные заряды, распределение σ/ которых совпадает с распределением зарядов на поверхности проводника, находящегося в аналогичных условиях. Такое распределение поверхностных зарядов, создает в полупространстве поле, эквивалентное полю точечного заряда. Таким образом, будем рассматривать поле в верхнем полупространстве над диэлектриком как суперпозицию зарядов q и q/, расположенных симметрично по разные стороны от границы, а поле внутри диэлектрика как поле двух точечных зарядов q и q/, расположенных в одной точке (рис. 339).


рис. 339

 Для того, чтобы доказать справедливость нашего предположения необходимо добиться выполнения граничных условий
.
 Легко видеть, что условие постоянства тангенциальной составляющей выполняется при любом значении заряда-изображения q/. Попытаемся подобрать такую величину этого заряда, что бы выполнялось граничное условие и для нормальных составляющих поля. Согласно нашему предположению, в пространстве над диэлектриком возле границы нормальная составляющая поля определяется формулой

а внутри диэлектрика, непосредственно у границы

 Граничное условие для нормальных составляющих поля Eon = εEn будет выполняться в любой точке границы, если положить q − q/ = ε(q + q/), или

 Итак, мы показали, что предположение о характере распределения поляризационных зарядов на границе диэлектрика справедливо, так как выполняются оба граничные условия.
 Таким образом, для расчета полей приходится строить заряд-изображение, расположенный внутри диэлектрика, если рассчитывается поле вне его; и наоборот снаружи от диэлектрика, если рассматривается поле внутри его.
 Отметим, что поле внутри диэлектрика в данном случае совпадает с полем точечного заряда, величина которого равна

соответственно, напряженность поля внутри диэлектрика равна

 То есть диэлектрик уменьшает поле, но не в ε раз, как это бывает в случае бесконечного диэлектрика, или когда силовые линия поля перпендикулярны границе. Поле вне диэлектрика отличается от поля точечного заряда.
 Аналогично может быть решена задача о расчете поля, создаваемого диэлектрическим шаром, помещенным во внешнее однородное электрическое поле. Оказывается, что и в этом случае вид распределения поляризационных зарядов на поверхности шара совпадает с видом распределения индуцированных зарядов на поверхности проводящего шара. Использование этого обстоятельства позволяет найти напряженности полей как внутри шара, так и вне его. Суммарное поле внутри шарика будет оставаться однородным и направленным так же, как и внешнее поле, однако его величина будет меньше

 Поле вне шара перестанет быть однородным.
 Обратите внимание, что множитель, показывающий во сколько раз изменилась напряженность поля, отличается от аналогичного множителя для случая плоской границы − форма границы оказывает существенное влияния на поле внутри и снаружи от диэлектрика.
З аметим, что переход от диэлектрика к проводнику в задачах электростатики может быть осуществлен, полагая ε → ∞, действительно, в этом пределе формулы определяющие заряды-изображения и напряженности полей в диэлектрике, переходят в соответствующие формулы, полученные ранее для проводника1.
 Если же положить ε = 1, то все индуцированные заряды исчезают, как и должно быть в отсутствие диэлектрика.

Задание для самостоятельной работы.
 1. Докажите формулу (2),

1Обратный переход от проводника к диэлектрику невозможен. Иными словами, «уйти на бесконечность легко, вернуться трудно!»