on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 35 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

40.2 Изображение заряда в сфере.

 Прежде, чем приступить к рассмотрению следующей группы задач, связанных с описанием взаимодействия точечного заряда и проводящей сферы, решим одну вспомогательную задачу.
 Пусть электростатическое поле создается двумя точечными зарядами, находящимися на расстоянии l друг от друга. Величины и знаки зарядов различны и равны q1 и −q3. Покажем, что поверхность нулевого потенциала этого поля представляет собой сферу.
 Выберем систему координат, так чтобы заряд q1 находился в начале координат, а заряд q2 на оси Ox (рис. 322).


рис. 322

 Так задача обладает осевой симметрией, то достаточно показать, что в плоскости xOy линия нулевого потенциала является окружностью. Запишем выражение для потенциала электростатического поля в произвольной точке A с координатами (x, y)

 Полагая φ = 0, получим уравнение, определяющее линию нулевого потенциала. Обозначим q2/q1 = k, и преобразуем это уравнение к виду:

А это есть уравнение окружности радиуса

с центром, лежащим на оси X в точке с координатой

 В пространстве, с учетом осевой симметрии (вращая вокруг оси X) эта линии образует сферу.
Итак, запомним − в поле создаваемом двумя точечными зарядами разными по знаку и величине, поверхность нулевого потенциала представляет собой сферу.
 Рассмотрим теперь такую систему: точечный заряд q расположен на расстоянии l от центра металлической заземленной сферы радиуса R. Исследуем электрическое поле в этом случае.
На поверхности металлической заземленной сферы возникнут индуцированные заряды, распределение которых заранее не известно, однако потенциал сферы равен нулю. Мы показали, что поле двух точечных зарядов имеет в качестве поверхности нулевого потенциала сферу. Теперь мы можем использовать этот результат.
Для этого необходимо внутри сферы можно построить заряд изображение q/, такой, чтобы поле двух точечных зарядов имело нулевой потенциал на поверхности сферы. В этом случае вне сферы поле двух точечных зарядов q, q/ и поле, создаваемое зарядом q и зарядами, индуцированными на поверхности металлической сферы, будут одинаковыми. (Вне сферы распределения зарядов одинаковы, на границе − одинаковые граничные условия − поэтому поля вне сферы будут одинаковыми).
 Для определения величины заряда-изображения q/ и его положения можно потребовать выполнения условия φ = 0 в двух точках сферы, например, A и B (рис. 323):

рис. 323


Решив эту систему относительно неизвестных q/ и x, получим

 Таким образом, вне сферы поле эквивалентно полю двух точечных зарядов исходного q и найденного заряда изображения q/. Внутри сферы эти поля, конечно же, различаются − внутри реальной проводящей сферы поле отсутствует.
 Для определения суммарного индуцированного заряда воспользуемся теоремой Гаусса. Окружим сферу замкнутой поверхностью. По теореме Гаусса, поток вектора напряженности электрического поля через эту поверхность равен суммарному заряду внутри поверхности, деленному на εo. Так поле индуцированных зарядов эквивалентно полю заряда изображения, то и суммарный индуцированный заряд равен величине заряда-изображения

 На рисунке 324 показаны силовые линии поля, при двух различных значениях расстояниях до точечного заряда. Обратите внимание, что при увеличении расстояния между зарядом и сферой искажения поля точечного заряда уменьшаются. Как всегда, у поверхности проводника силовые линии перпендикулярны границе, что соответствует условию равновесия индуцированных зарядов на поверхности проводника.

рис. 324

 Еще раз подчеркнем − вне сферы поля эквивалентны, но это не значит, что индуцированные заряды концентрируются в одной точке − они распределены по поверхности сферы.
 Силу взаимодействия между сферой и точечным зарядом можно найти как силу взаимодействия между двумя точечными зарядами q, q/:

Заметим, что при l >> R сила взаимодействия становится равной

то есть сила убывает обратно пропорционально кубу расстояния. Такая зависимость может быть качественно объяснена: величина заряда, индуцированного на сфере обратно пропорциональна расстоянию до исходного заряда, а сила взаимодействия между точечными зарядами обратно пропорциональна квадрату расстояния − следовательно, сила взаимодействия сферы и заряда обратно пропорциональна кубу расстояния.
Рассмотрим, как изменится картина поля, если сфера не заземлена. Потенциал незаземленной сферы отличен от нуля, но по-прежнему постоянен, но величина его заранее не известна. Но для изолированной сферы суммарный индуцированный заряд равен нулю − в поле точечного заряда произойдет только перераспределение зарядов по поверхности сферы. Мы можем добиться выполнения граничных условий, поместив в центр шара еще один заряд-изображение q// = −q/ (рис. 325).

рис. 325

 Действительно, заряды q, q/ создают поле, потенциал которого на поверхности сферы равен нулю, а заряд, помещенный в центре сферы, на ее поверхности создает постоянный (но не равный нулю) потенциал, поэтому эквипотенциальность сферы не нарушится. Из теоремы Гаусса следует, что суммарный индуцированный заряд сферы равен сумме зарядов изображений, поэтому при выполнении условия q// = −q, этот заряд окажется равным нулю.
 Итак, вне сферы поле, создаваемое точечным зарядом q и индуцированными зарядами на поверхности, эквивалентно полю трех точечных зарядов q, q/, q//.
 Обратите внимание, число зарядов изображений определяется только необходимостью выполнения граничных условий.
 На рисунке 326 показана картина силовых линий электрического поля рассматриваемой системы зарядов. Обратите внимание, что имеются силовые линии, начинающиеся на положительных зарядах сферы. Незаземленная сфера гораздо меньше возмущает поле точечного заряда, чем заземленная. Действительно, на ней происходит только перераспределение зарядов.

рис. 326

 Сила, действующая на заряд q, вычисляется как сумма сил, действующих со стороны двух изображений

При l >> R сила взаимодействия

убывает обратно пропорционально пятой степени расстояния, что также легко объяснимо: величина индуцированного дипольного момента пропорциональна величине внешнего поля (которое убывает обратно пропорционально квадрату расстояния), а величина поля диполя убывает обратно пропорционально кубу расстояния.
 Заметим, что в данном случае можно вычислить потенциал сферы, не рассчитывая распределения зарядов на поверхности. По принципу суперпозиции, потенциал центра сферы равен сумме потенциалов заряда q и индуцированных зарядов на поверхности сферы. Все индуцированные заряды находятся на одном и том же расстоянии от центра и их сумма равна нулю, следовательно, равен нулю и потенциал, создаваемый ими в центре сферы. Поэтому потенциал в центре сферы, следовательно, и в любой ее точке, равен потенциалу поля точечного заряда

 Суммарный заряд сферы остается равным нулю, но сфера приобретает индуцированный дипольный момент, который равен дипольному моменту двух зарядов-изображений

Перепишем эту формулу в виде

где V = (4/3)πR3 − объем сферы, Eo = q/(4πεol2) − напряженность поля, создаваемого точечным зарядом в центре сферы. Таким образом, мы видим, что индуцированный дипольный момент сферы пропорционален напряженности внешнего поля. В общем случае связь между напряженностью внешнего поля и величиной индуцированного заряда записывают виде

где E − напряженность внешнего электрического поля, коэффициент пропорциональности α имеет размерность объема и называется поляризуемостью тела. Мы показали, что для проводящей сферы (аналогично шара), поляризуемость равна ее утроенному объему. В общем случае поляризуемость зависит от формы тела и его электрических свойств, однако по порядку величины она равна объему тела.
Достаточно интересно рассмотреть распределение потенциала в плоскости, проходящей через точечный заряд и центр сферы. Эти потенциальные функции для заземленной (а) и незаземленной (б) сфер изображены на рисунке 327.

рис. 327

 Функция, описывающая потенциал поля, вне сферы совпадает с потенциалом поля точечных зарядов (исходного и изображений), а внутри сферы равна нулю в случае (а) и постоянна в случае (б) − круглые горизонтальные площадки совпадает с сечением сферы. Резкое «возвышение» есть потенциал поля точечного заряда, который стремится к бесконечности, здесь, как и на других рисунках, он «обрезан».