on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 25 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

40.1 Точечный заряд над плоской проводящей поверхностью.

 Рассмотрим простейшую задачу, допускающую решение с помощью метода изображений.
 Пусть точечный заряд +qo находится на расстоянии l от бесконечной металлической пластины (рис. 315).


рис. 315

 Очередной раз мы пользуемся моделями − в данном случае под бесконечной, понимается пластина, размеры которой значительно больше расстояния до заряда. Кроме того, можно считать, что пластина заземлена, так как она «касается бесконечности».
 Под действием электрического поля заряда +qo электроны пластины придут в движения и начнут скапливаться под точечным зарядом, создавая отрицательный индуцированный заряд.
Если пластина реально заземлена, то эти заряды натекут из заземления. На большой незаземленной пластине возникнут положительные заряды на краях пластины, но так как эти края находятся далеко, то их полем в рассматриваемой области можно пренебречь.
 Распределение поверхностной плотности индуцированных зарядов на пластине σ не известно, но известно, что ее потенциал постоянен и равен нулю.
 Легко придумать другую задачу, для которой будет выполнено такое же граничное условие. Действительно, рассмотрим поле, создаваемое двумя точечными зарядами q = +qo и q/ = −qo, находящимися на расстоянии 2l друг от друга (рис. 316).

рис. 316

 Во всех точках плоскости, перпендикулярной отрезку, соединяющими заряды и проходящей через ее середину, потенциал равен нулю, так как эти точки находятся на равном расстоянии от двух зарядов равных по величине и противоположных по направлению. Сравним данную простую задачу (два точечных заряда) с исходной (точечный заряд и индуцированные им заряды σ на проводящей пластине): в полупространстве над пластиной распределения зарядов одинаковы (в обоих случаях − один точечный заряд), на граничной плоскости потенциалы равны; следовательно, в этом полупространстве электрические поля также одинаковы.
 Строго говоря, мы должны рассматривать замкнутую область пространства, поэтому мысленно накроем заряд +qo полусферой, опирающейся на плоскость, положим ее потенциал равным нулю и устремим ее радиус к бесконечности, и таким образом придем к рассматриваемому полупространству (рис. 317).

рис. 317

 Таким образом, в верхнем полупространстве задачи эквивалентны − заряды и поле распределены одинаково. Следовательно, можно утверждать, что индуцированные на металлической пластине заряды σ создают в верхнем полупространстве такое же электрическое поле как заряд q/ = −qo, расположенный симметрично относительно верхней поверхности пластины. Следовательно, для расчета электрического поля следует зеркально симметрично под пластиной расположить заряд-изображение q/ = −qo. Подчеркнем, что реально никакого такого заряда не возникает, его роль − описать поле, создаваемое реальными индуцированными зарядами на поверхности пластины. Ввиду явной симметрии такое же поле возникает и в нижнем полупространстве (то есть поле заряда q/, расположенного в той же точке, что и исходный заряд +qo). Это поле индуцированных зарядов складывается с полем исходного заряда, поэтому и оказывается, что в нижнем полупространстве поле равно нулю, как и должно быть внутри проводника.
 Напряженность суммарного поля у границы Eo можно рассчитать по принципу суперпозиции как сумму полей, создаваемых исходным зарядом E и его изображением E/ (рис. 318):

рис. 318


Суммарный вектор направлен перпендикулярно границе и равен

здесь r расстояние от основания перпендикуляра из заряда на плоскость пластины до рассматриваемой точки. Поверхностная плотность заряда у поверхности проводника связана с напряженностью поля соотношением σ = εoE, поэтому распределение поверхностной плотности индуцированных зарядов на пластине осесимметрично и имеет вид

 Сила притяжения заряда к пластине определяется полем, создаваемым индуцированными зарядами, которое в свою очередь эквивалентно полю заряда изображения, поэтому равно силе взаимодействия двух точечных зарядов q и q/

 Энергия взаимодействия исходного и индуцированных зарядов равна только половине (!) энергии взаимодействия зарядов q и q/. Заметьте, что две задачи (заряд и пластина − два заряда) эквивалентны только в верхнем полупространстве. Реально поле существует только в верхней половине пространства. Так энергия взаимодействия есть энергия поля, то и энергия взаимодействия будет в два раза меньше. Поэтому

 Этот вывод можно пояснить следующим образом: при двух реальных точечных зарядах при перемещении одного из них второй остается неподвижным. Если же уносить заряд от проводящей границы, то его изображение также удаляется, поэтому совершаемая работа будет меньше.
 Картина силовых линий также может быть рассчитана, как поле двух точечных зарядов (рис. 319).

рис. 319

 Обратите внимание, что во всех точках плоскости силовые линии перпендикулярны поверхности.
Продолжим развитие идей построения зарядов-изображений.
 Пусть точечный заряд q находится на биссектрисе прямого двугранного угла AOB, образованного двумя бесконечными проводящими плоскостями (рис. 320).

рис. 320

 Попытаемся построить набор зарядов изображений так, чтобы удовлетворить граничным условиям − на гранях угла потенциал должен быть равен нулю. Прежде всего, зеркально отобразим исходный заряд в двух плоскостях − получим два изображения q/. Но эти три заряда не обеспечивают равенство нулю потенциала на гранях угла. Необходимо еще один раз отобразить изображения в другой грани − тем самым появляется еще один заряд-изображение q//. Отметим, что этот заряд является одновременно изображением обоих зарядов q/. Однако его величина также равна q (а не 2q), так как единственное и основное правило построения − удовлетворение граничных условий. Легко проверить, что поле четырех зарядов имеет нулевой потенциал, как на плоскости OA, так и на плоскости OB. Таким образом, поле, образованное зарядом q и индуцированными на плоскостях зарядами эквивалентно полю четырех точечных зарядов, причем эта эквивалентность выполняется только в одной четверти угла, содержащей исходный заряд. В оставшихся четвертях поле отсутствует. Но картина силовых линий получается достаточно симпатичной, если построить поле четырех зарядов, подразумевая, что реально поле только в одной четверти, поэтому в остальных четвертях оно заштриховано (рис. 321).

рис. 321

 Совершенно аналогично можно построить поле заряда, помещенного на биссектрису двугранного угла, величина которого целое число раз укладывается в полном угле, например, в угле 60°. Шесть зарядов, знаки которых чередуются, расположенных в вершинах правильного шестиугольника, обеспечивают равенство нулю потенциала на гранях угла.