on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 3 гостя.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

§ 4. Равномерное движение материальной точки вдоль прямой

4.1. Математическое описание равномерного движения

 Пусть некоторое тело, которое можно считать материальной точкой, движется вдоль заданной прямой. Для описания его движения направим ось X декартовой системы координат вдоль этой прямой (которая является траекторией движения), выберем также на этой оси начало отсчета. Положение тела однозначно определяется одной координатой, поэтому закон движения в данном случае представляет собой одну функцию − зависимость координаты х от времени tx(t). Рассмотрим наиболее простой вид движения − равномерное.
 Равномерным называется такое движение точки, при котором за любые равные промежутки времени она проходит равные пути.
 При таком движении легко определить физическую характеристику быстроты движения − скорость.
Путевой скоростью равномерного движения называется отношение пути, пройденного телом, к интервалу времени, за который этот путь пройден.
 В дальнейшем мы определим скорость несколько по-другому, поэтому в данном определении мы оговорили термин «путевая скорость».
 Если обозначить пройденный путь S, а интервал времени t, то скорость1 v, как вам известно, определяется формулой
v = S/t. (1)

 При равномерном движении это отношение не зависит от рассматриваемого промежутка времени, так как пройденный путь пропорционален временному интервалу. Можно дать еще одно истолкование скорости: скорость тела равна пути, пройденному телом за единицу времени2.
 Скорость есть физическая величина, имеющая в системе СИ размерность м/с (метр в секунду). Кроме этой единицы измерения скорости довольно часто используется внесистемная единица − км/ч, а в некоторых странах − миль/ч.
 Величина пройденного пути S показывает, на сколько сместилось тело, но не указывает направление этого смещения. Используя введенные координаты, можно определить смещение тела как изменение его координаты:
Δх = х − хo, (2)

где х − координата тела в некоторый момент времени t, а хo − координата тела в начальный момент to.
 Символом Δ (греческая буква «дельта») мы будем обозначать изменение любой физической величины (в данном случае координаты) − конечное значение минус начальное; такое обозначение является общепринятым.
 Изменение координаты может быть как положительным (при увеличении значения координаты), так и отрицательным (при ее уменьшении). Таким образом, знак величины Δх просто указывает направление движения в положительном либо отрицательном направлении оси X. Очевидно, что путь, пройденный материальной точкой при движении вдоль оси в одном направлении, связан с изменением координаты соотношением
S = |Δх|. (3)

 Таким образом, если вместо пути использовать изменение координаты, то с помощью знака ± (плюс − минус) можно указать дополнительно и направление движения. Соответствующим образом можно переопределить и скорость движения: скорость равномерного движения вдоль прямой равна отношению изменения координаты к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло:
v = (x − xo)/(t − to) = Δx/Δt. (4)

 Заметьте, для величины интервала времени мы также используем обозначение Δt − разность между показаниями часов в конечный и начальный моменты времени. В данном определении скорость может быть положительной (если тело движется в положительном направлении оси) и отрицательной (при движении в противоположном направлении). Таким образом, знак скорости указывает направление движения, а ее модуль сохраняет прежнее значение путевой скорости − путь, пройденный в единицу времени.
Найдем теперь зависимость координаты от времени (закон движения) при равномерном движении вдоль прямой, то есть в том случае, когда скорость остается постоянной величиной. Непосредственно из формулы, определяющей скорость, движение можно выразить так:
х = хo + v(t − to). (5)

 Эта формула дает закон движения материальной точки при ее равномерном движении вдоль прямой. Знание только скорости движения не позволяет однозначно определить его закон − необходимо знать положение (то есть координату) тела в какой-нибудь момент времени. Часто это дополнительное условие называют начальным: в начальный момент времени to тело находится в точке с координатой хo. Однако совсем не обязательно, чтобы движение начиналось в момент времени to − формулу (5) можно применять для любого времени t (в том числе и t < to), важно только, чтобы во все рассматриваемые моменты времени продолжалось движение с той же скоростью. В этом смысле закон движения обратим − его можно использовать как для того, чтобы предсказать положение тела в будущем (t > to), так и для того, чтобы определить, где оно находилось в прошлом (t < to).
 При рассмотрении системы координат мы неоднократно подчеркивали, что выбор начала отсчета координат произволен, также произволен и выбор начала отсчета времени to. Физический смысл этого «произвола»: вы можете «запустить» свои часы в любой удобный для вас момент времени. Поэтому часто в формуле закона движения полагают, что to = 0, тогда
х = хo + vt. (6)

 Различие между формулами (5) и (6) при описании одного и того же движения только в начальном отсчете времени: при описании движения с помощью формулы (5) полагают, что тело находилось в точке с координатой хo при t = to, а в формуле (6) − при t = 0.
 С математической точки зрения закон движения является функцией и, как всякая функция, может быть проиллюстрирован графиком. Графическое представление различных законов наглядно, информативно и чрезвычайно распространено как в физике, так и в других естественных науках.
 Построим график функции, описываемой уравнением (5). Зависимость х(t) в данном случае линейна, поэтому ее график является прямой линией (рис. 34).

рис. 34

Эта прямая проходит через точку3 А с координатами (to, хo). Точки пересечения графика с осями координат также имеют наглядный физический смысл: х1 − положение тела в момент времени t = 0; t2 − момент времени, когда тело находилось в точке начала отсчета.
 Наклон графика определяется скоростью точки − чем выше скорость, тем больший угол образует график с осью t.
 Иногда говорят, что скорость численно равна тангенсу угла наклона графика закона движения к оси времени. Действительно, в прямоугольном треугольнике АBС длина отрезка ВС равна Δt, а длина отрезка АС равна Δ х. Следовательно, их отношение, с одной стороны, равно скорости движения
v = Δx/Δt,

с другой − тангенсу угла ∠АВС. Однако к этому утверждению следует относиться с большой осторожностью, так как изменения координаты Δх и времени Δt являются физическими величинами и имеют разные размерности, поэтому масштабы соответствующих осей могут выбираться произвольно, независимо друг от друга. Изменение масштаба одной из осей приведет к изменению угла наклона графика, скорость же при этом, конечно, не изменится. Поэтому измерять скорость с помощью транспортира неразумно. Поэтому «тангенс наклона» Δx/Δt следует понимать как отношение физических величин, а не длин отрезков, на рисунке с произвольным масштабом. Во избежание подобной путаницы в дальнейшем для обозначения отношения Δx/Δt мы будем использовать термин «коэффициент наклона».

рис. 35

 На рис. 35 приведены графики законов движения нескольких человек вдоль одной прямой, причем их движение может быть словесно описано следующим образом: «Из пункта А (расположенного в точке с координатой хA) одновременно вышли два пешехода, причем второй двигался со скоростью в два раза большей скорости первого. Навстречу им из пункта В (расположенного в точке с координатой хB) вышел третий пешеход со скоростью, равной скорости второго. Третий пешеход встретил второго в момент времени t1 в точке с координатой х1, а затем первого в момент времени t2 в точке с координатой х2. В момент времени t3 он прибыл в пункт А». Вот такая «история» изображена на этом графике! Согласитесь, графический способ описания гораздо короче и нагляднее.
 Если закон равномерного движения выражается функцией
х = хo + vt,

то график этой функции − прямая линия, причем параметр v (скорость) определяет наклон графика (на рис. 36 значения скорости в м/с указаны справа, здесь хo = 1,0 м), а изменение параметра хo приводит к сдвигу графика вдоль оси X (на рис. 37 v = 2,0 м/с, а начальная координата хo совпадает с разметкой оси).

1У нас начинают проявляться недостатки разговорного языка: «материальная точка (модель тела) находится в точке (положение тела в пространстве) с координатой хo, что соответствует точке А (точка на рисунке) на графике закона движения». Эти недостатки создают определенные трудности, однако в большинстве случаев из смысла фразы понятно, о каких точках и координатах идет речь.
2Хотя обозначения физических величин, в принципе, произвольны, имеется ряд обозначений традиционных, общепринятых. К числу таких относится и традиционное обозначение скорости латинской буквой v, что соответствует английскому слову velocity − скорость.
3В принципе, можно ввести и иную характеристику быстроты передвижения − величину, обратную скорости, − отношение t/S, смысл которой − путь, пройденный за единицу времени. Согласитесь, что такая величина также характеризует движение и иногда используется в жизни: километр пробежал за три минуты. Однако более удобной физической величиной является все-таки скорость.