on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 4 гостя.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

39.2 Условия равновесия между зарядами и электрическим полем.

 При помещении металла1 в электрическое поле Eo на свободные электроны действуют электрические силы, под действием которых электроны приходят в движение. Если электрическое поле не слишком велико, то электроны не могут покинуть объем металла и скапливаются на одной стороне проводника, с другой стороны проводника образуется недостаток электронов, поэтому положительный заряд ионов решетки оказывается нескомпенсированным (рис. 296).


рис. 296

 Таким образом, на поверхности проводника появляются электрические заряды, при этом суммарный заряд проводника остается, конечно, неизменным.
Явление возникновения электрических зарядов на проводнике под воздействием электрического поля называется электростатической индукцией, а возникшие заряды − индуцированными.
Появившиеся индуцированные заряды создают собственное индуцированное электрическое поле E/, которое направлено в сторону, противоположную внешнему полю (рис. 297).

рис. 297

Конечно, эти заряды создают поле как внутри проводника, так и вне его. Суммарное поле

отличается от внешнего поля.
 Рассмотренные особенности поведение проводников достаточно легко проиллюстрировать экспериментально.
 Мы уже упоминали, что стрелка электроскопа отклоняется даже в том случае, когда заряженное тело не прикасается к его стержню (рис. 298).

рис. 298

 Это явление легко объясняется явлением электростатической индукции. Для увеличения эффекта, на стержень электроскопа следует насадить сферическую насадку. Поднесем к металлической сфере заряженную стеклянную палочку, заряд которой положительный. Под действием электрического поля зарядов палочки произойдет перераспределение зарядов на сферической насадке, стержне и стрелке. Отрицательно заряженные электроны под действием электрического поля будут приближаться к палочке, поэтому сфера приобретет отрицательный заряд, равный ему положительный заряд распределится между стержнем и стрелкой. Суммарный заряд электроскопа останется равным нулю. Вследствие электрического отталкивания между положительными зарядами стержня и стрелки, последняя отклонится.
 Зарядим электроскоп, прикоснувшись к нему заряженной стеклянной палочкой. Если теперь к насадке поднести незаряженное проводящее тело (например, просто свою руку), не касаясь насадки, отклонение стрелки электроскопа уменьшится (рис. 299).

рис. 299

 Это явление объясняется следующим образом: под действием положительного заряда электроскопа на руке индуцируются заряды противоположного знака, которые притянут положительные заряды стрелки и стержня к насадке, то есть между ними произойдет перераспределение зарядов, в результате чего заряд стрелки и стержня уменьшится.
 Электростатической индукцией объясняется и притяжение незаряженного тела к заряженному. Если заряженную стеклянную палочку поднести к небольшому проводящему телу (например, кусочку фольги), то в этом теле произойдет перераспределение зарядов: ближняя к палочке часть зарядится отрицательно, дальняя положительно (рис. 300).

рис. 300

 Следовательно, тело приобретет дипольный момент. Так как электрическое поле, создаваемое зарядом палочки не является однородным, а убывает с расстоянием, то на кусочек фольги будет действовать сила притяжения, поэтому незаряженное тело втягивается в область более сильного поля.
 Подчеркнем, одним из необходимых условий притяжения незаряженного тела к заряженному является неоднородность электрического поля − если поместить проводящее тело в однородное электрическое поле (рис. 301),

рис. 301

то индуцированные заряды возникнут, но суммарная сила, действующая на них, будет равна нулю!

Задание для самостоятельной работы.
1. Что произойдет с отклонением стрелки заряженного электроскопа, если к его насадке поднести другое заряженное тело (не касаясь насадки)?

 Некоторые важнейшие свойства электрического поля, и распределения зарядов на проводниках можно получить, рассматривая только условия равновесия электрических зарядов. Условия равновесия не изменятся, если проводнику сообщить избыточный заряд, который также перераспределится по поверхности проводника, и также будет создавать электрическое поле. Далее, мы рассмотрим условия равновесия зарядов на проводнике и электрического поля, независимо от того, какими зарядами это поле создается – изначально находящимися на проводнике, индуцированными, или внешними; тем более, что нет принципиальной возможности разделить и различить эти поля, так как единственной реальностью является суммарное электрическое поле.

1. Напряженность электрического поля внутри проводника равна нулю E = 0.
 Можно предположить, что заряды, возникающие на поверхности проводника, образуются крайне незначительной долей общего количества свободных электронов, поэтому внутри проводника всегда имеется значительное число свободных электронов. Если внутри проводника существует отличное от нуля электрическое поле, то под его действием свободные электроны будут продолжать перемещаться, в стационарном же состоянии равновесия такое движение прекращается. Следовательно, в состоянии равновесия поле индуцированных зарядов E/ полностью компенсирует внешнее поле Eo.
 В некоторых пособиях утверждается, что проводники «не пропускают» электрическое поле. Данное высказывание не совсем корректно − проводник создает собственное поле, которое компенсирует внешнее, породившее его поле.
 Проверим высказанное предположение о малости числа электронов, образующих индуцированные заряды. Пусть медная пластинка помещена в однородное электрическое поле перпендикулярно его силовым линиям (рис. 302).


рис. 302

 Под действием внешнего электрического поля на гранях пластинки возникнут индуцированные электрические заряды, поверхностную плотность которых обозначим σ. Эти заряды породят электрическое поле, напряженность которого равна E/ = σ/εo. В состоянии равновесия это поле полностью компенсирует внешнее поле Eo, поэтому E/ = Eo, а поверхностная плотность индуцированных зарядов связана с напряженностью внешнего поля соотношением σ = εoEo. Число электронов, приходящихся на единицу площади поверхности (поверхностная концентрация), равно

где e − заряд электрона.
 Для численной оценки примем, что напряженность внешнего поля равна Eo = 1 × 105 В/м = 1 × 103 В/см (что в тысячу раз превышает напряженность электрического поля Земли). Тогда поверхностная концентрация электронов равна

 На первый взгляд достаточно много, но сравним с общим числом электронов в единице объема. Для расчета концентрации электронов примем, что каждый атом меди отдает один электрон в электронное облако. Число атомов меди (следовательно, и число свободных электронов) в единице объема рассчитаем следующим образом: масса единицы объема равна плотности меди ρ ≈ 9 г/см3; число молей вещества в единице объема равно v = m/M = ρ/M, где M ≈ 65 г/моль − молярная масса меди; концентрация атомов2 (и свободных электронов)

 Если принять толщину пластинки h = 1 см, то доля электронов, которые оказались на поверхности, оказывается равной

что действительно крайне мало (одна десятимиллиардная доля процента).
Напомним, такая доля электронов создает индуцированные заряды, если к медной пластинке толщиной в один сантиметр приложить напряжение в тысячу вольт! Поэтому с высокой степенью точности можно считать, что появление индуцированных зарядов не изменяет объемную концентрацию свободных электронов.

2. Все точки проводника имеют одинаковые потенциалы.
 Это утверждение является прямым следствием связи между разностью потенциалов и напряженностью поля Δφ = −EΔl. Если напряженность поля внутри проводника равна нулю, то разность потенциалов также равна нулю, поэтому потенциалы всех точек проводника одинаковы. Также можно привести еще одно равноценное доказательство: если между двумя точками проводника существует разность потенциалов, то между ними будет течь электрический ток, то есть равновесия не будет.

3. В состоянии равновесия все заряды располагаются только на поверхности проводника, объемная плотность электрического заряда внутри проводника равна нулю.
 Доказательство этого утверждения проведем методом от противного. Допустим, что в некоторой части проводника существует заряженная область. Окружим эту область замкнутой поверхностью S (рис. 303).


рис. 303

 Согласно теореме Гаусса поток вектора напряженности электрического поля через эту поверхность отличен от нуля и пропорционален заряду, находящемуся внутри поверхности. Следовательно, в точках этой поверхности напряженность электрического поля отлична от нуля. Но мы доказали, что в состоянии равновесия внутри проводника электрическое поле отсутствует, мы пришли к противоречию, поэтому внутри проводника электрические заряды отсутствуют. Реально, если каким-то образом внутрь проводника поместить избыточный электрический заряд, то под действием сил отталкивания этот заряд «разбежится» на поверхность проводника.
 Строго говоря, электрические заряды существуют в очень тонком слое вблизи поверхности, толщина которого измеряется несколькими атомными слоями, поэтому практически можно говорить о поверхностном заряде, пренебрегая толщиной заряженного слоя.

4. У поверхности проводника вектор напряженности электрического поля направлен перпендикулярно поверхности проводника.
 Опять воспользуемся доказательством методом от противного − предположим, что в некоторой точке поверхности проводника вектор напряженности электрического поля E направлен под некоторым углом к поверхности проводника (рис. 304).


рис. 304

 Разложим это вектор на две составляющих: нормальную En, перпендикулярную поверхности, и тангенциальную Eτ − направленную по касательной к поверхности. Аналогично можно провести и разложения вектора силы, действующей на электроны. Нормальная составляющая этой электрической силы уравновешивается силой, действующей на электрон со стороны кристаллической решетки. Под действием же тангенциальной составляющей электроны придут в движение вдоль поверхности, но … нас интересует состояние равновесия, поэтому в состоянии равновесия тангенциальная составляющая электрического поля отсутствует.
 Если в какой-то момент времени тангенциальная составляющая поля отлична от нуля, то под ее действием начнется движение электрических зарядов, которое будет продолжаться до тех пор, пока не установится такое распределение зарядов, при котором вектор поля будет перпендикулярен поверхности во всех ее точках.

5. Напряженность электрического поля у поверхности проводника связана с поверхностной плотностью зарядов соотношением E = σ/εo.
 Итак, мы установили, что внутри проводника напряженность электрического поля равна нулю, а у поверхности вектор напряженности перпендикулярен поверхности проводника. Кроме того, электрические заряды локализованы на поверхности проводника. Эти факты позволяют с помощью теоремы Гаусса установить связь между напряженностью поля и поверхностной плотностью заряда.
 Выделим на поверхности проводника малую площадку, площадью ΔS, поверхностную плотность заряда на ней обозначим σ, и будем считать ее постоянной в пределах выбранной малой площадки (рис. 305).


рис. 305

 Окружим эту площадку замкнутой поверхностью, состоящей из двух частей: первая Ω1 расположена над поверхностью и непосредственно примыкает к выбранной площадке ΔS, вторая Ω2 находится под поверхностью, внутри проводника. Поток вектора напряженности через поверхность Ω2 равен нулю, так как внутри проводника поля отсутствует ФE2 = 0; поток вектора напряженности через поверхность Ω1 равен произведению напряженности поля на площадь площадки ФE1 = EΔS, так как на этой поверхности вектор напряженности направлен вдоль нормали. Так как Ω1 и Ω2 образуют замкнутую поверхность, то суммарный поток через нее равен заряду, находящемуся внутри поверхности q = σΔS, деленному на электрическую постоянную εo:

Подставив выражения для потоков и заряда

получим искомое соотношение

 К сожалению, эта формула только устанавливает связь между напряженностью поля и плотностью заряда, хотя обе величины остаются неизвестными.
 Следует отметить, что электрическое поле E, входящее в формулу (1) создается не только зарядами, находящимися на выбранной площадке3 ΔS, но и всеми остальными зарядами на проводнике и вне его (рис. 306).

рис. 306

 Представим это поле в виде суммы полей

где Eo напряженность поля, создаваемого зарядами на площадке σo; E1 − напряженность поля, создаваемого всеми остальными зарядами σ1. Рассмотрим теперь эти поля непосредственно под площадкой ΔS внутри проводника. Напряженность поля Eo/ зарядов σo будет направлена в противоположную сторону, так как рассматривается точка с противоположной стороны площадки. А напряженность поля остальных зарядов остается неизменной, так как мы выбираем две точки в непосредственной близости друг от друга. Теперь, внимание, так как внутри проводника поле отсутствует, то

поэтому модули напряженности этих полей равны и определяются формулой

 С помощью полученного соотношения можно вычислить силу, действующую на выбранную площадку поверхности, как произведение заряда площадки

на напряженность поля E1, создаваемого всеми зарядами кроме, заряда на самой площадке

Сила, действующая на единицу площади поверхности проводника со стороны электрического поля (то есть давление поля) вычисляется по формуле

 Удивитесь (и попытайтесь его осмыслить) полученному результату: давление электростатического поля на поверхность проводника равно плотности энергии электрического поля!


1В данном разделе мы говорить главным образом о поведении металлов в электрическом поле, хотя аналогичные явления происходят и в других типах проводников.
2Здесь NA = 6,02 × 1023 моль−1 − число Авогадро.
3Напомним, поток вектора напряженности через замкнутую поверхность полностью определяется зарядами внутри поверхности, то есть в данном случае зарядами на поверхности.