on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 14 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

37.7. Поле двух параллельных равномерно заряженных пластин.

 Найдем распределение потенциала поля, создаваемого двумя одинаковыми равномерно заряженными параллельными пластинами, заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку1 (рис. 279).


рис. 279

 Обозначим поверхностную плотность заряда на одной пластине , а на другой −σ. Расстояние между пластинами h будем считать значительно меньшим размеров пластин. Введем систему координат, ось z которой перпендикулярна пластинам, начало координат разместим по средине между пластинами. Очевидно, для бесконечно больших пластин все характеристики поля (напряженность и потенциал) зависят только от координаты z. Для расчета напряженности поля в различных точках пространства воспользуемся полученным выражением для напряженности поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной пластиной и принципом суперпозиции.
Каждая равномерно заряженная пластина создает однородное поле, модуль напряженности которого равен Eo = σ/(2εo), а направления указаны на рисунке 280, 281.

рис. 280


рис. 281

 Складывая напряженности полей по принципу суперпозиции, получим, что в пространстве между пластинами напряженность поля E = 2Eo = σ/εo вдвое превышает напряженность поля одной пластины (здесь поля отдельных пластин параллельны), а вне пластин поле отсутствует (здесь поля отдельных пластин противоположны).
 Строго говоря, для пластин конечных размеров поле не является однородным, силовые линии поля пластин конечных размеров показаны на рисунке 282.

рис. 282

 Наиболее сильные отклонения от однородности наблюдаются вблизи краев пластин (часто эти отклонения называют краевыми эффектами). Однако, в области прилегающей к середине пластин поле с высокой степенью точности можно считать однородным, то есть в этой области можно пренебречь краевыми эффектами. Заметим, что погрешности такого приближения тем меньше, чем меньше отношение расстояния между пластинами к их размерам.
 Для однозначного определения распределения потенциала поля, необходимо выбрать уровень нулевого потенциала. Будем считать, что потенциал равным нулю в плоскости расположенной по средине между пластинами, то есть, положим φ = 0 при z = 0.
 Не смотря на произвол в выборе нулевого уровня потенциала, наш выбор может быть логически обоснован на основании симметрии системы. Действительно, рассматриваемая система зарядов зеркально повторяет себя при зеркальном отражении относительно плоскости z = 0 и одновременном изменении знаков зарядов. Поэтому желательно, чтобы и распределение потенциала обладало такой же симметрией: восстанавливалось при зеркальном отражении с одновременным изменением знака всех функций поля. Выбранный нами способ выбора нулевого потенциала удовлетворяет такой симметрии.

рис. 283

 Обозначим потенциал положительно заряженной пластины o, тогда потенциал отрицательно заряженной пластины будет равен φo. Эти потенциалы легко определить, используя найденное значение напряженности поля между пластинами и связь между напряженностью и разностью потенциалов электрического поля. Уравнение этой связи в данном случае имеет вид +φo − φo = Eh. Из этого соотношения определяем значения потенциалов пластин φo = σh/(2εo). Учитывая, что между пластинами поле однородное (поэтому потенциал изменяется линейно), а вне пластин поле отсутствует (поэтому здесь потенциал постоянен), зависимость потенциала от координаты z имеет вид (рис. 284)

рис. 284

Задания для самостоятельной работы.
1. Во всех рассмотренных примерах проделайте обратную операцию: по найденному распределению потенциала с помощью формулы Ex = −Δφ/Δx рассчитайте напряженности рассмотренных полей.
2. Строго выведите формулу (6).
3. Качественно объясните следующий «парадокс». В поле плоского конденсатора неоднозначно определен потенциал «бесконечности»: при движении в положительном направлении оси Z потенциал «бесконечности» оказался равным −φo; при движении в отрицательном направлении оси Zo, при движении вдоль осей X или Y − равен нулю. Так чему равен потенциал «бесконечности» в реальной системе двух пластин конечных размеров?


1Такая система называется плоским конденсатором, подробнее эти устройства мы будем изучать позже.