on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 49 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

36.6 Поле равномерно заряженной плоскости.

 Решим задачу, которая нам неоднократно понадобится в дальнейшем. Пусть электрическое поле создается зарядами, которые равномерно распределены по бесконечной плоскости.
 Конечно, в реальности бесконечно больших поверхностей не существует. В данном случае, мы подразумеваем, что точка A, в которой рассчитывается напряженность поля, находится на расстоянии h от плоскости, которое значительно меньше расстояний до краев заряженного участка (рис. 245).


рис. 245

 В этом случае влияние зарядов, расположенных достаточно далеко от рассматриваемой точки становится пренебрежимо малым. Проводить расчеты для бесконечно больших плоскостей оказывается проще, чем для конечных участков.
 В качестве характеристики распределения зарядов введем величину σ − поверхностную плотность заряда. Выберем на плоскости произвольную точку с координатами (x, y), окружим ее малой площадкой площадью ΔS. Пусть заряд этой выделенной площадки равен ΔQ, тогда средняя поверхностная плотность заряда определяется как отношение заряда площадки к ее площади σ = ΔQ/ΔS. При уменьшении площади выделенной площадки, получим поверхностную плотность заряда в данной точке поверхности

Для равномерно заряженной поверхности поверхностная плотность заряда постоянна σ(x, y) = σ = const.
 Для расчета напряженности поля воспользуемся законом Ш. Кулона и принципом суперпозиции.
Разобьем заряженную плоскость на малые участки. Такое разбиение можно проводить различными способами. Расчеты упрощаются, если мысленно разбить плоскость на тонкие кольца, а затем каждое кольцо разделить на малые участки (рис. 246).

рис. 246

 Каждый малый участок плоскости можно рассматривать как точечный заряд величиной ΔQ = σΔS, который создает поле, вектор напряженности которого ΔE направлен вдоль прямой, соединяющий заряд с точкой наблюдения A (рис. 247).

рис. 247

 Полная напряженность электрического поля будет равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых отдельными участками плоскости. Ясно, что результирующий вектор напряженности будет направлен перпендикулярно плоскости (обозначим это направление осью z). Действительно, для каждого заряда ΔQ найдется симметрично расположенный заряд ΔQ/, сумма векторов напряженностей полей ΔE + ΔE/, создаваемых этими зарядами, будет направлена вдоль оси z.
 Вычислим напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным кольцом, в точке находящейся на оси кольца на расстоянии h от его центра.
 Разобьем кольцо на малые участки, заряд каждого из них обозначим ΔQi. В точке наблюдения вектор напряженность поля ΔEi, создаваемого этим зарядом, направлен вдоль линии, соединяющей заряд и точку наблюдения. Величина этого вектора может быть рассчитана по закону Ш. Кулона

где r = √{h2 + R2} − расстояние от заряда то точки наблюдения.
 Как мы показали, результирующий вектор напряженности направлен вдоль оси кольца. Поэтому для его расчета достаточно просуммировать проекции векторов ΔE на эту ось

Просуммируем проекции векторов напряженностей полей, создаваемых всеми зарядами, на которые мы разбили кольцо

Так как все заряды находятся на равных расстояниях r от точки наблюдения, а векторы ΔEi образуют равные углы α с осью z, вычисление этой суммы сводится суммированию зарядов (постоянные множители можно вынести за знак суммы):

Заметим, что в центре кольца напряженность поля равна нулю, затем с ростом h напряженность поля возрастает до некоторого максимального значения, после чего начинает монотонно убывать. Причем на больших расстояниях при h >> R в формуле (2) можно пренебречь R в знаменателе, при этом напряженность поля определяется формулой Ez ≈ Q/(4πεoh2), которая соответствует напряженности поля точечного заряда. Данный результат понятен, на расстояниях значительно превышающих радиус кольца, кольцо можно рассматривать как точечный заряд. График функции (2) показан на рисунке 248.

рис. 248

 Далее для вычисления напряженности поля, созданного всей плоскостью, необходимо просуммировать выражения (2) по всем кольцам, на которые была разбита плоскость. Такое суммирование, в принципе, можно провести, но этот расчет требует привлечения операции интегрирования, поэтому заниматься этим не будем. Тем более, что результат можно получит гораздо быстрее, использую теорему Гаусса.
 Для использования этой теоремы для определения напряженности поля, необходимо рассмотреть симметрию поля, которая, очевидно связана с симметрией зарядов. Распределение зарядов не изменится, если плоскость сместить на любой вектор a, лежащий в самой плоскости. Поэтому при таком смещении не изменится и напряженность поля (рис. 249).

рис. 249

 Следовательно, напряженность поля может зависеть только от расстояния до плоскости h. Любая прямая, перпендикулярная плоскости является осью симметрии, то есть при повороте плоскости на любой угол относительно любой оси, перпендикулярной плоскости, распределение зарядов не изменяется − следовательно, и вектор напряженности при таком повороте не изменится, поэтому этот вектор должен быть перпендикулярен плоскости. Наконец, заряженная плоскость является плоскостью симметрии для поля. Поэтому в симметричных точках векторы напряженности также симметричны. Выявленные свойства симметрии электрического поля позволяют выбрать поверхность, для которой можно выразить поток вектора напряженности в простой форме. Итак, в качестве такой поверхности выберем поверхность прямого цилиндра, образующие которого перпендикулярны плоскости, а основания площадью S параллельны ей и находятся на равных расстояниях от плоскости.
 Прежде всего, заметим, что поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, так как во всех точках боковой поверхности векторы напряженности E и нормали n взаимно перпендикулярны (поэтому cosα = 0) (рис. 250).

рис. 250

 Поток через верхнее основание цилиндра может быть записан в виде Ф = ES, так модуль напряженности поля на основании цилиндра постоянен, а по направлению совпадает с вектором нормали. Такое же значение имеет поток через нижнее основание. Таким образом, суммарный поток вектора напряженности электрического поля через поверхность цилиндра равен ФE = 2ES. По теореме Гаусса этот поток равен заряду внутри поверхности Q = σS, деленному на электрическую постоянную ФE = 2ES = σS/εo. Их этого равенства выражаем модуль вектора напряженности электрического поля

 Как видите, с использованием теоремы Гаусса нам удалось решить поставленную задачу «в одно действие». Главная составляющая успеха − анализ симметрии поля, позволивший разумно выбрать поверхность, для использования теоремы Гаусса. Также обратите внимание, что напряженность данного поля одинакова во всех точках, следовательно, это поля является однородным. Подчеркнем, независимость напряженности поля от расстояния до плоскости h никак не следует из симметрии поля, это результат нашего расчета.