on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 27 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

36.5 Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса.

 Как и для любого векторного поля важно рассмотреть свойства потока электрического поля. Поток электрического поля определяется традиционно.
 Выделим малую площадку площадью ΔS, ориентация которой задается единичным вектором нормали n (рис. 237).


рис. 237

В пределах малой площадки электрическое поле можно считать однородным1, тогда поток вектора напряженности ΔФE определяется как произведение площади площадки на нормальную составляющую вектора напряженности

где

скалярное произведение векторов E и n; En − нормальная к площадке компонента вектора напряженности.
 В произвольном электростатическом поле поток вектора напряженности через произвольную поверхность, определяется следующим образом (рис. 238):

рис. 238

− поверхность разбивается на малые площадки ΔS (которые можно считать плоскими);
− определяется вектор напряженности E на этой площадке (который в пределах площадки можно считать постоянным);
− вычисляется сумма потоков через все площадки, на которые разбита поверхность

 Эта сумма называется потоком вектора напряженности электрического поля через заданную поверхность. Трудно найти явный физический смысл этой величины, но как мы указывали, поток векторного поля является полезной вспомогательной математической величиной.
 Рассмотрим электрическое поле точечного заряда Q (рис. 239).

рис. 239

 Это поле обладает сферической симметрией − модуль вектора напряженности зависит только от расстояния для заряда, в любой точке вектор напряженности направлен радиально, вдоль прямой, соединяющей заряд с точкой наблюдения. Окружим заряд сферой, произвольного радиуса R, центр которой совпадает с точечным зарядом. Во всех точках поверхности сферы вектор напряженности электрического поля направлен вдоль нормали к поверхности сферы (поэтому угол между ними равен нулю), его модуль постоянен и по закону Ш. Кулона равен

 Выделим на поверхности сферы малую площадку площадью ΔSi, поток вектора напряженности через эту площадку равен

Так как модуль вектора напряженности во всех точках сферы одинаков, суммирование потоков через поверхность сферы, сводится к суммированию площадей участков, на которые разбивается сфера. Вычислим поток вектора напряженности

Здесь

площадь поверхности сферы.
 Обратите внимание, что этот поток не зависит от радиуса сферы. Итак, поток вектора напряженности электрического поля точечного заряда через поверхность сферы равен отношению заряда к электрической постоянной.
 Для обобщения полученного результата, вспомним теоремы о потоке несжимаемой жидкости. Самое важное – распределение скоростей от точечного источника, описывается такой же зависимостью, как и напряженность электрического поля, созданного точечным источником. Следовательно, и потоки этих векторных полей подчиняются одинаковым законам. Поэтому, мы не будем подробно доказывать каждое утверждение, только приведем его основные этапы.
1. Выражение для суммарного потока (3) вывод можно обобщить для любой замкнутой поверхности, окружающей точечный заряд.
 Поток вектора напряженности электрического поля точечного заряда через любую замкнутую поверхность, окружающую заряд, равен величине заряда, деленного на электрическую постоянную: ФE = Q/εo (рис. 240)

рис. 240

2. Пусть внутри поверхности находится несколько зарядов (рис. 241).

рис. 241

 Так как для вектора напряженности электрического поля электрического поля справедлив принцип суперпозиции, то такой же принцип будет справедлив и для потока вектора напряженности. Следовательно, поток вектора напряженности электрического поля, созданного системой зарядов Q1, Q2, …, через любую замкнутую поверхность, окружающую заряды, равен сумме зарядов, деленную на электрическую постоянную εo:

3. Если заряд Q/ находится вне замкнутой поверхности (рис. 242),

рис. 242

то поток вектора напряженности поля, созданного этим зарядом через эту поверхность равен нулю: ФE = 0.
Наконец, можно объединить эти положения и сформулировать теорему о потоке вектора напряженности электрического поля (рис. 243):

рис. 243

Поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность равен сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, деленную на электрическую постоянную εo:

 Эта важнейшая теорема впервые сформулирована немецким математиком К. Гауссом и носит его имя (теорема Гаусса).
 В отличие от напряженности поля, которая является точечной характеристикой поля (определена в каждой точке поля), поток этого вектора есть характеристика некоторого объема (усредненной, интегральной) характеристикой. Если в некоторой части пространства электрическое поле отсутствует (напряженность равна нулю), то и поток вектора напряженности через любую поверхность, находящуюся в этой части также равен нулю. Обратное утверждение не верно − если поток вектора напряженности равен нулю, то из этого не следует, что поле отсутствует. Единственный вывод, который можно сделать из равенства потока нулю − внутри рассматриваемой поверхности суммарный заряд равен нулю.
 Заряды, находящиеся вне рассматриваемой замкнутой поверхности, создают электрическое поле, в том числе и внутри объема, ограниченного рассматриваемой поверхностью. Только суммарный поток поля созданного этими зарядами равен нулю («сколько втекает − столько вытекает»). Можно сказать, что заряды вне поверхности, перераспределяют поток поля, создаваемый зарядами внутри поверхности (рис. 244).

рис. 244

 Теорема Гаусса строго доказывается на основании закона Ш. Кулона, поэтому она не несет нового физического содержания. Из теоремы Гаусса, легко выводится формула закона Ш. Кулона. Поэтому с точки зрения физики, теорема Гаусса и закон Кулона эквиваленты, это один и тот же физический закон, облаченный в разные математические оболочки.


1Электрическое поле называется однородным, если во всех точках вектор напряженности постоянен, как по величине, так и по направлению − обычное определение однородности, как для любого поля.