on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 48 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

§ 32. Вихревое движение жидкости. Циркуляция скорости.

 Каждому знакомо движение воды в реке: помимо плавного, почти однородного, движения часто встречаются вихри, водовороты (рис. 185).


рис. 185

 С помощью теорем о потоке нельзя описать вихревое движение − в вихре поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. Поэтому появление вихрей не изменяет потока жидкости через замкнутую поверхность. Таким образом, необходимо «придумать» еще одну характеристику движения жидкости, зависящую от наличия или отсутствия вихрей.
 Если в движущейся жидкости присутствуют вихри, то можно найти замкнутую линию, двигаясь вдоль которой все время будешь «плыть по течению» (рис. 186).

рис. 186

 Если же вихри отсутствуют, то при движении по замкнутой линии на некоторых участках обязательно придется «плыть против течения».
 Именно это отличие позволяет построить требуемую величину, определяющую наличие участков вихревого движения.
 Рассмотрим произвольную линию (совсем не обязательно, чтобы это была линия тока).
Выделим на этом участке малый участок, определяемый вектором Δl (рис. 187).

рис. 187

Пусть скорость жидкости на этом участке равна V. Вычислим скалярное произведение этих векторов:

где α − угол между вектором скорости и касательным вектором к выбранной линии (он совпадает с выделенным малым участком Δl). Далее возьмем произвольную замкнутую линию, разобьем ее на малые участки Δli, на каждом из которых вычислим скалярное произведение
ΔГ = V•Δl = VΔlcosα

и просуммируем их по всем участкам замкнутой линии (контура):

 Построенная таким образом математическая конструкция называется циркуляцией вектора скорости по заданному контуру L. Построенная величина может быть как положительной, так и отрицательной, ее знак определяется произвольным выбором положительного направления обхода контура. Но так уж исторически сложилось, что в физике положительным принимается направление обхода против часовой стрелки.
 Если в движущейся жидкости вихри отсутствуют, то циркуляция скорости по любому контуру равна нулю (рис. 188).

рис. 188

 Если же выбранный контур лежит в области вихря, то циркуляция вектора скорости будет отлична от нуля. Таким образом, циркуляция определяет присутствие вихревого движения. Физические свойства движущейся жидкости таковы, что ее движение может быть как безвихревым (ламинарным), так и вихревым (турбулентным). Поэтому сформулировать какую-либо простую теорему о циркуляции для движущейся жидкости трудно. Однако математическое понятие циркуляции широко используется для описания других полей. Для примера можно указать знаменитую теорему Жуковского, утверждающую, что подъемная сила крыла самолета пропорциональна циркуляции скорости воздуха по контуру, охватывающему крыло.
 Обратимся еще раз к определению циркуляции по формуле (1). Если в этой математической конструкции заменить вектор скорости вектором силы, действующей на некоторое тело, то мы увидим, что циркуляция вектора силы является работой силы при перемещении тела по данному контуру. То есть циркуляция вектора силы имеет явный физический смысл. Ранее мы определили понятие потенциальности силы (сила, работа которой не зависит от формы траектории), теперь это же определение можно сформулировать математически иным образом: сила потенциальна, если ее работа по любому контуру равна нулю.
 И в дальнейшем мы будем встречаться с подобной ситуацией: в некоторых случаях та или иная конструкция имеет наглядный физический смысл, в других является просто удобной вспомогательной математической величиной.
 Доказано, что законы, определяющие поток векторного поля через любую замкнутую поверхность и циркуляцию по любому контуру, однозначно позволяют рассчитывать само векторное поле. Поэтому и физические законы для реальных полей формулируются именно в такой форме.