on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 33 гостя.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

§ 31. Поток жидкости

 Пусть нам известно поле скоростей движущейся жидкости (рис. 177).


рис. 177

 Рассчитаем объем жидкости, протекающей в единицу времени через некоторую воображаемую площадку − часто эту характеристику называют расход, или поток жидкости Ф. Проще всего решить данную задачу для однородного потока жидкости.
 Пусть воображаемая площадка площадью ΔS расположена перпендикулярно однородному потоку жидкости, движущейся со скоростью V (рис. 178).

рис. 178

 За промежуток времени Δt через площадку пройдет жидкость, находящаяся на расстоянии меньшем, чем VΔt, объем этой жидкости будет равен
VΔt x ΔS.

Итак, в единицу времени через площадку пройдет объем жидкости, равный
ΔФ = VΔS. (1)

 Пусть площадка расположена под некоторым углом к набегающему потоку жидкости, который по-прежнему считаем однородным (рис. 199).

рис. 179

 Ориентацию площадки удобно задавать, указывая вектор нормали к этой площадке n, модуль, которого равен единице, а направлен перпендикулярно площадке. Пусть вектор скорости жидкости V образует угол α с вектором нормали n к площадке площадью ΔS. Объем жидкости, протекающей через площадку за время Δt, может быть найден по формуле VΔtcosα × ΔS. Следовательно, расход (поток) жидкости через площадку определяется выражениями

где

− скалярное произведение векторов V и n; Vn − нормальная к площадке компонента вектора скорости.
 Отметим, что, согласно определению, поток может быть как положительным, так и отрицательным. Знак потока определяется выбором направления нормали к поверхности: в конце концов, этот произвол обусловлен выбором положительного направления движения жидкости.
 Наконец, в произвольном поле скоростей объем жидкости, протекающей в единицу времени через произвольную поверхность, подсчитаем следующим образом (рис. 180):

рис. 180

разобьем поверхность на малые площадки ΔS (которые будем считать плоскими), определим вектор скорости жидкости V на этой площадке (который в пределах площадки будем считать постоянным), запишем выражение (2) для расхода жидкости через площадку, просуммируем по всем площадкам рассматриваемой поверхности:

Эта сумма называется потоком вектора скорости через заданную поверхность.
 Подобную сумму в некоторых случаях можно вычислить достаточно просто, иногда ее вычисление может быть громоздким. Заметьте, что скорость жидкости мы определяем в каждой точке (говорят, что это точечная характеристика); поток через поверхность определяется движением жидкости в некоторой части пространства, поэтому эта характеристика является интегральной, описывающей свойства движения обобщенно, усредненно для этой части пространства.
 Оказывается, что некоторые законы движения жидкости могут быть сформулированы как теоремы для потока жидкости. С использованием таких теорем можно решать многочисленные и сложные задачи.

 Приведем примеры таких «очевидных» теорем.
Первая теорема о потоке несжимаемой жидкости. Если в некоторой области движущейся несжимаемой жидкости отсутствуют источники и стоки, то поток жидкости через любую замкнутую поверхность равен нулю:

Ф = 0.

 Конечно, все реальные жидкости могут изменять свой объем под действием внешних сил. Однако изменение объема жидкостей обычно настолько мало, что им можно пренебречь, − именно такое приближение используется в модели несжимаемой жидкости. Для замкнутой поверхности положительной принимается внешняя нормаль, направленная наружу от объема, ограниченного рассматриваемой поверхностью (рис. 181).

рис. 181

 В этом случае на одних частях поверхности поток будет положительным (там, где жидкость вытекает из ограниченного объема), на других отрицательным (там, где жидкость втекает внутрь объема). Так как объем жидкости внутри поверхности остается постоянным, то количество жидкости, втекающей внутрь, равно количеству жидкости, вытекающей наружу, − вот смысл сформулированной теоремы.
 Применим эту теорему к жидкости, протекающей по трубе переменного сечения, сочлененной из двух труб. Площадь поперечного сечения первой − S1, второй − S2 (рис. 182).

рис. 182

 В качестве поверхности, к которой применим теорему о потоке жидкости, выберем часть боковой поверхности в месте сочленения и две плоские площадки, перпендикулярные оси трубы, находящиеся в широкой и узкой части. Скорость жидкости в широкой части обозначим V1, а в узкой части − V2. Поток через боковую поверхность равен нулю:
Фбок = 0.

Так как здесь векторы скорости и нормали взаимно перпендикулярны, поток через площадку в широкой части трубы равен:
Ф1 = −V1S1

знак минус появился, так как векторы направлены в противоположные стороны, поток через площадку в узкой части трубы −
Ф2 = V2S2.

Таким образом, поток через оговоренную поверхность равен:
Ф = Ф1 + Фбок + Ф2 = −V1S1 + V2S2 = 0.

Из этого соотношения получим уравнение, связывающее скорости в разных частях трубы:
V1S1 = V2S2.

 Это уравнение является частным случаем уравнения неразрывности, смысл которого очевиден: «сколько влилось, столько вылилось». Можно сказать, что теорема о потоке несжимаемой жидкости выражает общий случай уравнения неразрывности.
 Обобщим данную теорему. Пусть в некоторой области движущейся жидкости имеются источники (и стоки) жидкости. В качестве характеристики источника будем использовать его расход q − количество (объем) жидкости, вытекающей из источника в единицу времени. Будем считать, что «сток» тоже источник, расход которого отрицателен. Из источника жидкость вытекает, в сток стекает − математическая же характеристика для них едина, но отличается знаком.

Вторая теорема о потоке несжимаемой жидкости. Поток несжимаемой жидкости через любую замкнутую поверхность равен сумме расходов источников, находящихся внутри поверхности:

Ф = q.

 Смысл и доказательство этой теоремы аналогичны предыдущей: «сколько вливается, столько же выливается». Заметим, что если внутри рассматриваемой поверхности находятся источники, то поток жидкости через поверхность не зависит от расположения источников. Подчеркнем: распределение скоростей (то есть скорости в разных точках), конечно, зависит от положения источников, но суммарный поток через поверхность полностью определяется суммарным расходом источников. Если же источник находится вне рассматриваемой поверхности, то он изменяет распределение скоростей, но не изменяет суммарный поток через рассматриваемую поверхность.
 Применим эту теорему к следующей задаче. Пусть внутри очень большого объема жидкости находится точечный изотропный источник, расход которого равен q. Найдем распределение скоростей жидкости возле источника. Изотропным называется источник, посылающий жидкость во все стороны одинаково. Реально такой источник можно представить в виде сферы с большим числом маленьких отверстий, через которые вытекает жидкость (рис. 183).

рис. 183

 Понятно, что жидкость будет растекаться от источника во все стороны одинаково, то есть изотропно. Иными словами, скорость течения жидкости по модулю одинакова во всех точках, находящихся на одинаковом расстоянии r от источника, вектор скорости направлен во всех точках радиально от источника. Эти соображения позволяют нам найти зависимость скорости жидкости от расстояния до источника.
 В качестве поверхности, к которой применим теорему о потоке, используем сферу радиуса r, в центре которой находится источник (рис. 204).

рис. 184

 Выделим на поверхности сферы небольшую площадку площадью ΔS. На поверхности сферы направление вектора скорости совпадает с направлением внешней нормали, поэтому поток жидкости через эту площадку равен:
ΔФ = V x ΔS.

 Далее заметим, что на всех участках сферы модуль скорости одинаков. Поэтому суммирование потоков через все участки сферы сводится к суммированию площадей этих площадок. Таким образом, суммарный поток через поверхность сферы равен произведению модуля скорости на площадь сферы:
Ф = 4πr2V.

 С другой стороны, по теореме о потоке, эта величина равна расходу источника: Ф = q. Приравнивая эти выражения
4πr2V = q,

получим искомое выражение для скорости жидкости:
V(r) = q/(4πr2). (4)

 Отметим важное обстоятельство: сформулированная теорема о потоке жидкости справедлива для любой поверхности. Успех в решении этой задачи обусловлен правильным выбором1 поверхности: во всех точках сферы модуль скорости постоянен, а угол между скоростью и нормалью равен нулю − именно эти обстоятельства позволили выразить суммарный поток простой формулой. Для другой поверхности теорема о потоке также будет выполняться, но в разных точках этой поверхности могут быть разные скорости, разные углы, поэтому получить выражение для скорости в разных точках невозможно.
 Заметим, что сформулированные теоремы не являются математическими, так как они явным образом используют физические свойства жидкости, а именно, ее слабую сжимаемость (т. е. возможностью использовать модель несжимаемой жидкости). Для газов приведенные теоремы использовать нельзя, так как объемы газов могут изменяться в широких пределах. Поэтому для формулировки подобных теорем необходимо привлекать физические свойства газов, например, зависимость плотности газа от температуры и давления.
Таким образом, мы показали, что понятие потока оказывается полезным для описания векторного поля. В дальнейшем мы будем широко использовать эту математическую конструкцию над векторным полем для описания физических свойств других реальных полей. В общем случае, если задано векторное поле, то есть в любой точке пространства с координатами (х, у, z) определен некоторый вектор А, то потоком вектора через малую площадку ΔS с нормалью n называется величина

где α − угол между вектором поля и нормалью к площадке.
 В случае поля скоростей движения несжимаемой жидкости поток этого поля имеет наглядный смысл − объем жидкости, протекающий через поверхность в единицу времени. Для других полей найти смысл потока может быть затруднительно. В таких случаях к потоку следует относиться как к полезной математической величине.

1Произволом в выборе надо пользоваться с умом.