on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 3 гостя.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

§ 25. Импульс тела. Закон сохранения импульса

 Уравнение второго закона Ньютона для материальной точки (или для твердого тела, движущегося поступательно) имеет вид

ma = F, (1)

где m − масса тела, а = Δv/Δt ее ускорение, F − сумма внешних сил, действующих на тело. Используя определение ускорения, уравнение (1) можно переписать в виде

 Векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость

называется импульсом тела1 (рис. 139).

рис. 139

Тогда второй закон Ньютона может быть переформулирован следующим образом2: скорость изменения импульса тела равна сумме внешних сил, действующих на тело:

 На первый взгляд, эта новая формулировка закона полностью эквивалентна прежней. Но она оказывается применимой в том случае, когда масса тела изменяется с течением времени. Данный вывод не может быть подтвержден какими-либо теоретическими выкладками, обосновывается он только результатами многочисленных экспериментов и экспериментально проверяемыми следствиями из данного утверждения. Иными словами, уравнение (2) является обобщением экспериментальных данных.
В случае постоянной массы уравнения (2) и (1) полностью эквивалентны.
Часто произведение силы на время ее действия

называют импульсом силы.
 Используя это понятие, дадим еще одну эквивалентную формулировку второго закона Ньютона: изменение импульса тела равно импульсу суммарной внешней силы

 Рассмотрим теперь движение двух материальных точек, взаимодействующих только между собой (рис. 140).

рис. 140

 Такую систему можно назвать изолированной в том смысле, что нет взаимодействия с другими телами. По третьему закону Ньютона, силы, действующие на эти тела, равны по величине и противоположны по направлению:

Это можно выразить, используя второй закон Ньютона:

Объединяя эти выражения, получим

Перепишем данное соотношение, используя понятие импульса:

Следовательно,

или

 Если изменение какой-либо величины равно нулю, то эта физическая величина сохраняется. Таким образом, приходим к выводу: сумма импульсов двух взаимодействующих изолированных точек остается постоянной, независимо от вида взаимодействия между ними. Этот вывод можно обобщить на произвольную изолированную систему материальных точек, взаимодействующих между собой.
 Ранее в качестве одного из следствий законов Ньютона мы получили уравнение, описывающее движение центра масс системы материальных точек:

где m − полная масса системы, аC − ускорение центра масс системы, F − сумма внешних сил, действующих на систему.
 Если система изолирована, то сумма внешних сил равна нулю, поэтому в таком случае

 Вспомним определение центра масс системы. Радиус-вектор центра масс определяется по формуле

Тогда произведение C можно представить в виде

где p = m1v1 + m2v2 + m3v3 + … векторная сумма импульсов тел, входящих в систему, которую в дальнейшем будет называть импульс системы. Из полученного соотношения следует, что полный импульс замкнутой системы сохраняется независимо от видов взаимодействий внутри системы. Это чрезвычайно важное утверждение носит название закона сохранения импульса.
Сделаем два существенных замечания, касающихся проделанного вывода.
 1. Полный импульс системы материальных точек равен произведению массы системы на скорость центра масс системы. Действительно,

 2. Пусть система материальных точек не является замкнутой.
 Допустим, что сумма внешних сил, действующих на систему, не равна нулю: F ≠ 0, но проекция результирующей внешней силы на некоторую ось (например, X) равна нулю: Fх = 0. Тогда уравнение (3) в проекции на эту ось будет иметь вид CX = 0, из которого следует, что проекция импульса системы на эту ось будет сохраняться. Итак, если сумма проекций внешних сил на некоторую ось равна нулю, то проекция импульса системы на эту ось сохраняется.
Так, при движении системы материальных точек, движущихся в поле тяжести земли, когда внешней силой является сила тяжести, направленная вертикально, будет сохраняться проекция импульса системы на любую горизонтальную ось.
 Мы вывели закон сохранения импульса с помощью законов динамики Ньютона. Однако закон сохранения импульса является фундаментальным физическим законом. В теоретической физике показано, что он является следствием однородности3 пространства, в котором происходят все физические явления. Если вы уверены в том, что результаты физического эксперимента одинаковы независимо от того, в каком месте этот опыт поставлен, то вы должны признать закон сохранения импульса.

Задание для самостоятельной работы: движущийся кусок пластилина ударяется в стену и прилипает к ней. Куда «исчезает» импульс куска пластилина?

1Также эту физическую величину называют количеством движения, однако этот термин постепенно выходит из употребления.
2Заметим, что именно в такой форме закон был сформулирован И. Ньютоном.
3Однородность означает равноправие, одинаковость всех точек пространства.