on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 50 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

21.2. Сила тяжести


рис. 115

 Рассмотрим гравитационное взаимодействие между однородной сферой радиуса R, и массы М и материальной точкой массы m, находящейся на расстоянии r от центра сферы (рис. 116).

рис. 116

 В соответствии с вышеизложенной методикой расчета сил, необходимо разбить сферу на малые участки и просуммировать силы, действующие на материальную точку со стороны всех участков сферы. Такое суммирование впервые было проведено И. Ньютоном. Не вдаваясь в математические тонкости проведенного расчета, приведем окончательный результат: результирующая сила направлена к центру шара (что вполне очевидно), а величина этой силы определяется формулой

 Иными словами, сила взаимодействия оказалась такой же, как сила взаимодействия двух точечных тел, одно из которых помещено в центр сферы и его масса равна массе сферы. Существенным в этом расчете оказалось то обстоятельство, что сила гравитационного взаимодействия обратно пропорциональна квадрату расстояния между точечными телами, при любой другой зависимости силы от расстояния приведенный результат расчета оказался бы неверным.
 Полученный вывод очевидным образом обобщается на взаимодействие точечного заряда и однородного шара. Для доказательства достаточно разбить шар на тонкие сферические слои.
 Аналогично можно показать, что сила гравитационного взаимодействия между двумя сферически симметричными телами равна силе взаимодействия между материальными точками таких же масс, расположенных в центрах тел. То есть при расчете гравитационного взаимодействия сферически симметричные тела можно считать материальными точками, расположенными в центрах этих тел, независимо от размеров самих тел и расстояния между ними (рис. 117).

рис. 117

 Применим полученные результат к силе, действующей на все тела, находящиеся у поверхности Земли. Пусть тело массой m находится на высоте h над поверхностью Земли. С хорошей точностью форму Земли можно считать шарообразной, поэтому сила, действующая на тело со стороны Земли, направлена к ее центру, а модуль этой силы выражается формулой

где М − масса Земли, R − ее радиус. Известно, что средний радиус Земли равен: R ≈ 6350 км. Если тело находится на небольших высотах по сравнению с радиусом Земли, то высотой подъема тела можно пренебречь и в этом случае сила притяжения оказывается равной:

где обозначено

 Гравитационная сила, действующая на все тела у поверхности Земли, называется силой тяжести. Векторы ускорения свободного падения в различных точках не параллельны, так как направлены к центру Земли. Однако если рассматривать точки, находящиеся на небольшой, по сравнению с радиусом Земли, высоте, то можно пренебречь различием в направлениях ускорения свободного падения и считать, что во всех точках рассматриваемой области вблизи поверхности Земли вектор ускорения постоянен как по величине, так и по направлению (рис. 118).


рис. 118

 В рамках такого приближения мы будем называть силу тяжести однородной.

Задания для самостоятельной работы
 1. Оцените, на какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения уменьшается на 1 % по сравнению с ускорением на поверхности Земли.
 2. На каком расстоянии у поверхности земли угол между векторами ускорений свободного падения равен ?

 Строго говоря, модуль ускорения свободного падения различен в различных точках земной поверхности. Эти различия обусловлены, во-первых, отличием формы Земли от шарообразной, во-вторых, непостоянством плотности Земли. Заметим, что при определении ускорения свободного падения необходимо принимать во внимание вращение Земли, которое приводит к уменьшению экспериментально наблюдаемого значения ускорения по сравнению с формулой g = GM/R2.
 Кроме того, вращение Земли также приводит к отклонению направления ускорения свободного падения от направления на центр Земли. В некоторых случаях эти поправки, связанные с вращением Земли, включают в силу тяжести. Мы же, однако, предпочитаем называть силой тяжести только ту силу, которая вызвана гравитационным взаимодействием, а экспериментально наблюдаемые малые поправки к законам движения, вызванные вращением Земли, рассматривать отдельно, тем более что они малы и очень часто ими можно пренебречь.
 Сила тяжести, действующая на тело, является суммой сил, действующей на его отдельные части. Если считать силу тяжести однородной, то суммарная сила тяжести, действующая на тело, равна произведению массы всего тела на ускорение свободного падения. Более сложным является вопрос точки приложения силы тяжести. По своей природе сила тяжести является распределенной, действующей на все части тела. Если нас интересует только величина суммарной силы тяжести, то ее точка приложения нас не интересует. Однако во многих случаях (например, при исследовании условий равновесия) нас интересует не только сама сила, но и ее момент. Можно выбрать такую точку приложения суммарной силы тяжести, чтобы ее момент был равен сумме моментов сил тяжести, действующей на отдельные части тела. Такая точка называется центром тяжести тела.
 Очередной раз мысленно разобьем тело массой т на малые части, массы которых обозначим Δmi (i = 1, 2, 3 ...) (рис. 119).


рис. 119

 Выберем такую точку С приложения суммарной силы тяжести mg, чтобы момент этой силы относительно произвольной оси О был равен сумме моментов сил тяжести, действующих на отдельные части Δmi (i = 1, 2, 3 ...), что математически выражается виде тождества
mgxc = Δm1х1 + Δm2х2 + Δm3х3 + …,

где х1, х2, х3 … − горизонтальные координаты частей тела, х1 − горизонтальная координата искомой точки приложения суммарной силы тяжести. Из данного выражения определяем координату центра тяжести:

 Таким образом, если вектор ускорения свободного падения принимается постоянным, то центр тяжести совпадает с центром масс тела. Отметим, что в общем случае, когда вектор ускорения по величине или направлению изменяется от точки к точке, положение центра тяжести может отличаться от положения центра масс.