on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 27 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

2.3. Число степеней свободы тела

 Теперь после того, как мы изучили несколько моделей тел, можно окончательно и корректно сформулировать ответ на вопрос о том, что значит задать, определить положение тела: указать численное значение координат некоторых точек тела так, чтобы положение всего тела (любой его части) было определено однозначно.
 Число независимых координат, которые однозначно определяют положение тела или системы тел в пространстве, называется числом степеней свободы.
 Число степеней свободы − очень важная характеристика описываемой системы хотя бы потому, что определяет число независимых уравнений, описывающих движение системы.
 Подсчитаем число степеней свободы некоторых простых систем.
 Материальная точка, по определению, не имеет размеров, поэтому ее положение в пространстве определяется однозначно тремя координатами. Следовательно, число степеней свободы свободно материальной точки равно трем. Если на движение материальной точки накладываются дополнительные условия, то число ее степеней свободы может уменьшиться. Так, если точка движется по заданной поверхности, то ее положение определяется двумя независимыми координатами. Следовательно, число степеней свободы равно двум; при движении по заданной линии число степеней свободы уменьшается до одной. Подчеркнем, это не значит, что при движении по заданной линии может изменяться только одна − и могут изменяться все три, но положение точки на заданной линии определяется одной координатой, и если она известна, то могут быть определены и две другие. Тем не менее описание положения точки на заданной линии с помощью одной координаты оказывается не всегда удобным. Ценность рассмотренных нами декартовых координат в том, что они позволяют установить физические законы, описывающие движение вдоль всех прямых (все прямые одинаковы!). В то же время для описания изменения координат на произвольной линии пришлось бы записывать свои законы для каждой линии − окружности, параболы, синусоиды и т. д. Поэтому часто одномерное движение вдоль известной линии описывают с помощью двух или трех координат. Однако и в этом случае число степеней свободы остается равным единице.
 Если механическая система может быть промоделирована как материальных точек, движущихся в пространстве, то очевидно − полное число ее степеней свободы равняется 3N. Но если на движение этих материальных точек накладываются дополнительные ограничения, то число степеней свободы уменьшается.
 Рассмотрим, как можно описать положение в пространстве двух материальных точек, жестко связанных между собой (что-то похожее на гантели) (рис. 20).


рис. 20

 Две точки имеют шесть степеней свободы, которые могут быть описаны шестью координатами − х1, у1, z1, х2, y2, z2, но так как расстояние между точками неизменно, то на эти координаты накладывается условие
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 = l2,

где l − расстояние между точками. Поэтому число независимых координат, или число степеней свободы, равно пяти.
 Таким образом, число степеней свободы системы, состоящей из N материальных точек, равно 3N минус число дополнительных условий (связей), накладываемых на движение этих точек.
 Число степеней свободы может быть подсчитано и другим способом. Обратим внимание, что точное определение координат уменьшает «подвижность» точки (или системы точек). Так, например, если для материальной точки задана координата z, то точка может двигаться только в плоскости, перпендикулярной оси Z, а задание еще одной координаты (скажем y) приводит к тому, что точка может двигаться только вдоль прямой, параллельной оси X. Поэтому число степеней свободы можно находить, подсчитывая, сколько независимых координат необходимо определить, чтобы жестко «закрепить» тело. С помощью такого подхода найдем число степеней свободы системы, состоящей из двух жестко связанных точек. Задавая три координаты одной точки, мы ее мысленно закрепляем (рис. 21).

рис. 21

 Тогда вторая точка может двигаться только так, чтобы ее расстояние до первой оставалось неизменным, то есть по поверхности сферы радиуса l. Понятно, что если определено положение двух точек твердого тонкого стержня, то задано и положение всего стержня, поэтому тонкий стержень имеет пять степеней свободы.
 Посчитаем число степеней свободы свободно движущегося абсолютно твердого тела. Выберем внутри тела три произвольные точки А, В, С, не лежащие на одной прямой (рис. 22).

рис. 22

 Положение одной точки А определяется тремя координатами; если задано положение точки А, то положение точки В может быть описано двумя координатами. Наконец, при «закрепленных» точках А и B тело может только вращаться вокруг оси, проходящей через эти точки. Следовательно, точка С имеет одну степень свободы. Таким образом, абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы.
 Как мы уже отмечали, для описания положения точки можно использовать разные системы координат, аналогично, положение твердого тела также может быть описано различными способами, только число независимых координат во всех способах описания будет одним и тем же, равным числу степеней свободы. Так, во многих случаях положение твердого тела описывают, задавая три декартовые координаты одной из его точек (чаще центра) и три угла, определяющие его ориентацию.
 Эти углы можно задавать по-разному. Но наиболее популярной является система углов Л. Эйлера. Интересно, что специалисты разных областей используют фактически одну и ту же систему, но называют эти углы по своему. Так физики обычно рассматривают движение волчка (рис. 23) − хорошо знакомой с раннего детства юлы. Ее движение можно представить в таком виде:

рис. 23

 1) быстрое вращение вокруг собственной оси (собственное вращение);
 2) медленный поворот оси юлы вокруг вертикали, при этом ось юлы описывает конус − такое движение называют прецессией;
 3) колебания оси юлы, то есть изменение угла между осью юлы и вертикалью − это движение называют нутацией.
 Соответственно, углы, задающие положение твердого тела, называются углами прецессии, нутации и собственного вращения.
 Если внимательно присмотреться к этим углам, то в углах прецессии и нутации можно узнать географическую широту и долготу.
 Специалисты по динамике движения самолетов (рис. 24)

рис. 24

также используют три угла для задания его ориентации, но названия углов у них иные − крен, тангаж, рыскание (рис. 25):

рис. 25

− крен (от фр. car?ne − киль, подводная часть корабля или от англ. kren-gen − класть судно на бок) − поворот самолёта вокруг его продольной оси;
− тангаж (фр. tangage − килевая качка), поворот или раскачивание самолета вокруг поперечной горизонтальной оси (когда нос опускается вниз − пикирование или поднимается вверх − кабрирование);
− рыскание (рысканье) − угловое вращение или раскачивание самолёта вокруг вертикальной оси на небольшой угол, а также небольшие изменения курса вправо или влево.
 У моряков своя терминология (для тех же углов): тангаж заменен на дифферент, рыскание на курс, но крен остался креном.

 В заключение раздела посчитаем число степеней свободы, которым обладает человеческая рука: 2 − в плечевом суставе; 2 − в локтевом, 2 − в кистевом; 4 − в каждом пальце. Итого − 26 степеней свободы. 26 чисел необходимо задать, чтобы описать положение одной человеческой руки! (Рис. 26).


рис. 26