on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 32 гостя.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

19.2. Произвольное движение твердого тела и системы тел

 Рассмотрим теперь уравнение второго закона Ньютона для произвольной системы материальных точек и их произвольного движения. Оказывается, что в этом случае можно рассматривать движение некоторой геометрической точки, для которой уравнение движения полностью определяется только внешними силами. В качестве такой точки следует взять центр масс системы.
 Пусть совокупность тел представлена набором материальных точек, массы которых обозначим m1, m2, m3 ..., положения этих точек определим с помощью их радиус-векторов r1, r2, r3 ... в некоторой системе координат XYZ (рис. 103).


рис. 103

 Радиус-вектор центра масс системы определяется по формуле

 Аналогично можно выразить векторы скорости и ускорения центра масс системы через соответствующие характеристики движения материальных точек:

 В знаменателях этих формул стоит суммарная масса всей системы
m1 + m2 + m3 + ... = m.

В числителе формулы (3) стоит то же выражение, что и в уравнении (3) §17. Поэтому из этих соотношений следует простое уравнение для ускорения центра масс: для произвольной системы независимо от того, движутся ли части этой системы друг относительно друга или нет, ускорение центра масс системы определяется уравнением ac = F/m, в котором F − сумма внешних сил, действующих на систему, m − масса всей системы.
 Мы определили особую точку системы материальных точек − центр масс. Фактически введение этого понятия оправдывается простотой уравнения, описывающего ее движение. Упрощенно можно сказать, что всю массу системы можно собрать в центре масс и при этом рассматривать движение системы как движение одной материальной точки. Существенно, что движение центра масс полностью определяется внешними силами и не зависит от внутренних сил, действующих между отдельными телами, входящими в рассматриваемую систему. Например, центр масс осколков разорвавшегося в воздухе снаряда продолжает двигаться по параболе (если, конечно, пренебречь сопротивлением воздуха) независимо от того, какие дополнительные скорости приобрели эти осколки в момент разрыва.
 Отметим еще одно существенное обстоятельство: если в какой-либо инерциальной системе отсчета центр масс системы покоится, то никакие внутренние силы не могут изменить его положение.
Для твердого тела, расстояния между точками которого остаются неизменными, центр масс однозначно «привязан» к самому телу.
 Рассмотрим простейший пример твердого тела, состоящего из двух небольших шариков (материальных точек), массы которых равны m1 и m2, соединенных жестким невесомым стержнем длиной l (рис. 104).

рис. 104

 Направим ось вдоль стержня, начало отсчета совместим с первым шариком. Из определения (1), следует, что центр масс находится на стержне (координаты у, z обоих шариков равны нулю, поэтому и соответствующие координаты центра масс также равны нулю). Координата хC центра масс рассчитывается по формуле (с учетом х1 = 0, х2 = l)

 Если массы шариков равны, то центр масс находится в середине стержня, если масса одного из шариков значительно превышает массу другого, то центр масс совпадает с массивным шариком. Так, при m1 >> m2, хC = 0, в противном случае при m1 << m2, хс = l. При произвольном соотношении между массами шариков центр масс находится ближе к более тяжелому шарику. Отметим интересное соотношение, следующее из формулы (4):

где l1, l2 − расстояния от центра масс до соответствующих материальных точек.
 Для тел простой геометрической формы их центр масс может быть легко найден без громоздких вычислений по формуле (1). Так, для однородного стержня центр масс находится в его середине, для однородных кольца, диска, шара их центр масс совпадает с геометрическим центром. Центр масс однородной прямоугольной пластинки расположен в точке пересечения диагоналей, для треугольной пластинки − в точке пересечения медиан (рис. 105).

рис. 105

(Докажите эти утверждения самостоятельно.)