on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 36 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

§18. Законы динамики Ньютона

Историческое вступление
 Исаак Ньютон, сын мелкого, но зажиточного, фермера, родился в деревне Вулсторп (графство Линкольншир) в 1642 году, в год смерти Галилея и в канун гражданской войны. Отец Ньютона не дожил до рождения сына. Мальчик родился болезненным, до срока, но всё же выжил и прожил 84 года. Факт рождения под Рождество Ньютон считал особым знаком судьбы (рис. 97).


рис. 97

 В детстве Ньютон, по отзывам современников, был замкнут и обособлен, любил читать и мастерить технические игрушки: часы, мельницу и т. п. По окончании школы (1661) он поступил в Тринити-колледж (Колледж святой Троицы) Кембриджского университета. Уже тогда сложился его могучий характер − научная дотошность, стремление дойти до сути, нетерпимость к обману и угнетению, равнодушие к публичной славе.
 Научной опорой и вдохновителями творчества Ньютона в наибольшей степени были физики Галилей, Декарт и Кеплер. Ньютон завершил их труды, объединив в универсальную систему мира. Похоже на то, что значительную часть своих математических открытий Ньютон сделал ещё студентом, в «чумные годы» (1664 − 1666). В 23 года он уже свободно владел методами дифференциального и интегрального исчислений. Тогда же, по его утверждению, он открыл закон всемирного тяготения, точнее, убедился, что этот закон следует из третьего закона Кеплера.
 Все эти эпохальные открытия были опубликованы на 20 − 40 лет позже, чем были сделаны. Ньютон не гнался за славой. Стремление открыть истину было у него главной целью.
 1667 год: эпидемия чумы отступает, и Ньютон возвращается в Кембридж. Избран членом Тринити-колледжа, а в 1668 году становится магистром. В 1669 году Ньютон избирается профессором математики. Продолжаются эксперименты по оптике и теории цвета. Он строит смешанный телескоп-рефлектор (линза и вогнутое сферическое зеркало, которое полирует сам). Всерьёз увлекается алхимией, проводит массу химических опытов.
 1672 год: демонстрация рефлектора в Лондоне вызывает всеобщие восторженные отзывы. Ньютон становится знаменит и избирается членом Королевского общества (Британской академии наук). Позже усовершенствованные рефлекторы такой конструкции стали основными инструментами астрономов, с их помощью были открыты иные галактики, красное смещение и др.
 Разгорается полемика с Гуком, Гюйгенсом и другими учеными по поводу природы света. Ньютон даёт зарок на будущее не ввязываться в научные споры. В письмах он жалуется, что поставлен перед выбором: либо не публиковать свои открытия, либо тратить всё время и все силы на отражение недружелюбной дилетантской критики. Судя по всему, он выбрал первый вариант.
1680 год: Ньютон получает письмо Гука с формулировкой закона всемирного тяготения, послужившее, по признанию первого, поводом его работ по определению планетных движений (правда, потом отложенных на некоторое время), составивших предмет «Начал». Впоследствии Ньютон по каким-то причинам, быть может, подозревая Гука в незаконном заимствовании каких-то более ранних результатов самого Ньютона, не желает признавать здесь никаких заслуг Гука, но потом соглашается это сделать, хотя и довольно неохотно и не полностью.
 1684 − 1686 годы: после долгих уговоров Ньютон соглашается опубликовать свои главные достижения − работу над «Математическими началами натуральной философии» (весь трёхтомник издан в 1687 году) (рис. 98).

рис. 98

 В 1689 году Ньютон был в первый раз избран в парламент от Кембриджского университета и заседал там немногим более года. Второе избрание состоялось в 1701 − 1702 годах.
1696 год: королевским указом Ньютон назначен смотрителем Монетного двора (с 1699 года − директор). Он энергично проводит денежную реформу, восстанавливая доверие к основательно запущенной его предшественниками монетной системе Великобритании.
 1699 год: начало открытого приоритетного спора с Лейбницем, в который были вовлечены даже царствующие особы. Эта нелепая распря двух гениев дорого обошлась науке − английская математическая школа вскоре увяла на целый век, а европейская проигнорировала многие выдающиеся идеи Ньютона, переоткрыв их много позднее.
 В 1703 году Ньютон был избран президентом Королевского общества и управлял им до конца жизни − более двадцати лет.
 1705 год: королева Анна возводит Ньютона в рыцарское достоинство. Отныне он сэр Исаак Ньютон. Впервые в английской истории звание рыцаря присвоено за научные заслуги.
 Последние годы жизни Ньютон посвятил написанию «Хронологии древних царств», которой занимался около 40 лет, и подготовкой третьего издания «Начал».
 В 1725 году здоровье Ньютона начало заметно ухудшаться (каменная болезнь), и он переселился в Кенсингтон неподалёку от Лондона, где и скончался ночью, во сне, 20 (31) марта 1727 года. Похоронен в Вестминстерском аббатстве.
 Надпись на могиле Ньютона гласит: «Здесь покоится сэр Исаак Ньютон, дворянин, который почти божественным разутом первый доказал с факелом математики движение планет, пути комет и приливы океанов. Он исследовал различие световых лучей и появляющиеся при этом различные свойства цветов, чего ранее никто не подозревал. Прилежный, мудрый и верный истолкователь природы, древности и Св. Писания, он утверждал своей философией величие Всемогущего Бога, а нравом выражал евангельскую простоту. Пусть смертные радуются, что существовало такое украшение рода человеческого» (рис. 99).

рис. 99

 Сам Ньютон оценивал свои достижения более скромно: «Не знаю, как меня воспринимает мир, но сам себе я кажусь только мальчиком, играющим на морском берегу, который развлекается тем, что время от времени отыскивает камешек более пёстрый, чем другие, или красивую ракушку, в то время как великий океан истины, расстилается передо мной неисследованным».
 В 1687 году вышла книга английского ученого Исаака Ньютона «Математические начала натуральной философии», в которой была сформулирована система законов динамики, подобная системе аксиом геометрии Эвклида. В отличие от математических аксиом, законы физики являются обобщением громадного числа физических экспериментов, они также подтверждаются справедливостью многочисленных следствий применения этих законов при описании механического движения. Тем не менее с формальной точки зрения их можно рассматривать именно как аксиомы, не следующие из других, более общих законов.
 Три закона динамики И. Ньютона следует рассматривать в тесной взаимосвязи, так как только в совокупности они составляют фундамент динамики − науки, позволяющей описывать механическое движение, выяснять причины изменения скоростей тел, объяснять и управлять этим движением. Сразу подчеркнем, что знание только трех законов динамики не дает возможности решить ни одной конкретной задачи: такие возможности появляются только в том случае, когда они дополняются большим числом других законов, дающих выражения для сил конкретных взаимодействий.
 Законы динамики связывают ускорения тел с характеристиками тел (массами) и их взаимодействий (силами), поэтому неудивительно, что в основу динамики И. Ньютоном были положены именно три закона, или три аксиомы, как называл их Ньютон.

Первый закон Ньютона. В качестве первого закона Ньютон взял закон инерции Г. Галилея, который был сформулирован и обоснован нами ранее: существуют инерциальные системы отсчета, т. е. такие системы отсчета, в которых тело движется равномерно и прямолинейно, если другие тела на него не действуют. Основная роль этого закона − подчеркнуть, что в этих системах отсчета все ускорения, приобретаемые телами, являются следствиями взаимодействий тел. Дальнейшее описание движения следует проводить только в инерциальных системах отсчета.

Второй закон Ньютона утверждает, что причина ускорения тела − взаимодействие тел, характеристикой которого является сила. Этот закон дает основное уравнение динамики, позволяющее, в принципе, находить закон движения тела, если известны силы, действующие на него. Этот закон может быть сформулирован следующим образом (рис. 100):


рис. 100

ускорение точечного тела (материальной точки) прямо пропорционально сумме сил, действующих на тело, и обратно пропорционально массе тела:

здесь F − результирующая сила, то есть векторная сумма всех сил, действующих на тело.
На первый взгляд, уравнение (1) является другой формой записи определения силы, данного в предыдущем разделе. Однако это не совсем так. Во-первых, закон Ньютона утверждает, что в уравнение (1) входит сумма всех сил, действующих на тело, чего нет в определении силы. Во-вторых, второй закон Ньютона однозначно подчеркивает, что сила является причиной ускорения тела, а не наоборот.
 Наконец, все физические величины определяются на основании частных случаев тех или иных физических законов, так что второй закон Ньютона не является в этом случае исключением. С одной стороны, этот закон позволяет изучать различные виды взаимодействий, т. е. экспериментально получать законы этих взаимодействий. С другой стороны, при известных силах этот закон дает уравнение, позволяющее находить закон движения тела. Неявно этот же закон утверждает, что силы, действующие на тело, следует складывать как векторные величины, так как полное ускорение определяется именно векторной суммой всех сил. Также подчеркнем, что первый закон не является следствием второго. Формально, если сумма сил, действующих на тело, равна нулю, то ускорение тела равно нулю, то есть тело движется равномерно и прямолинейно. Однако напомним, что именно первый закон указывает те системы отсчета, в которых выполняется второй закон.

Третий закон Ньютона подчеркивает, что причиной ускорения является взаимное действие тел друг на друга. Поэтому силы, действующие на взаимодействующие тела, являются характеристиками одного и того же взаимодействия. С этой точки зрения нет ничего удивительного в третьем законе Ньютона (рис. 101):


рис. 101

точечные тела (материальные точки) взаимодействуют с силами, равными по величине и противоположными по направлению и направленными вдоль прямой, соединяющей эти тела:

где F12 − сила, действующая на первое тело со стороны
второго, a F21 − сила, действующая на второе тело со стороны первого. Очевидно, что эти силы имеют одинаковую природу. Этот закон также является обобщением многочисленных экспериментальных фактов. Обратим внимание, что фактически именно этот закон является основой определения массы тел, данного в предыдущем разделе.
 Сформулированные законы динамики играют роль своеобразных аксиом, то есть утверждений, не выводимых из более общих физических законов. Обратите внимание, что рассматриваемые законы сформулированы для точечных тел (материальных точек). Их применение для реальных тел, имеющих конечные размеры, требует уточнения и обоснования.

 Иногда третий закон Ньютона вызывает крайнее удивление: если «сила действия равна силе противодействия», то, как лошадь может сдвинуть телегу?
 Ведь сила F12, с которой лошадь тянет телегу, равна по модулю и противоположна по направлению силе F21, с которой телега тянет лошадь.
Разрешение данного противоречия элементарно, если вам понятны законы Ньютона. Нет смысла складывать силы, приложенные к разным телам! Поэтому телега движется под действием силы, приложенной со стороны лошади. А лошадь в свою очередь движется потому, что она «отталкивает» землю, а по третьему закону Ньютона земля толкает лошадь с силой F − именно эта сила и является движущей в системе «лошадь − телега».

1Более точно − интегральным и дифференциальным исчислением, но не пугайтесь − мы обойдемся без этого замечательного раздела математики.