on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 31 гость.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

14.4. Суперпозиция и линейность

 Возможность «сложения» движений и соответствующих кинематических характеристик имеет и математическое воплощение. Поясним эту взаимосвязь на простейшем примере (рис. 84).


рис. 84

 Пусть материальная точка А движется с угловой скоростью ω/ = Δα//Δt по окружности радиуса r с центром, совпадающим с началом координат системы отсчета X/OY/, которая, в свою очередь, вращается с угловой скоростью ωo = Δβ/Δt относительно неподвижной системы отсчета XOY. Угол поворота точки относительно неподвижной системы отсчета, как следует из элементарных геометрических соотношений, равен:
α = α/ + β.

Поэтому угловая скорость вращения относительно неподвижной системы отсчета также равна сумме угловых скоростей:
ω = Δα/Δt = ω/ + ωo.

Вычислим теперь, с каким центростремительным ускорением движется точка А. Во вращающейся системе отсчета X/OY/ это ускорение равно:
а/ = r(ω/)2.

 Ускорение подвижной системы отсчета относительно неподвижной
аo = r(ωo)2.

 Ускорение же точки А относительно неподвижной системы отсчета
а = r(ω/ + ωo)2 ≠ а/ + аo.

 Таким образом, для угловых (и обычных) скоростей принцип суперпозиции выполняется, а для ускорений − нет! Легко заметить, что нарушение принципа суперпозиции для ускорений обусловлено квадратичной зависимостью ускорения от скорости. Скорость же линейно1 (в данном случае даже пропорционально) выражается через углы поворота.
 В общем случае, можно утверждать, что математическим выражением принципа суперпозиции для какой-либо физической величины является линейность уравнений, определяющих эту величину.

1Напомним, что линейная зависимость между величинами у и х выражается уравнением у = kx + b, где k, b − постоянные. Если в этой зависимости b = 0, то говорят, что у и х пропорциональны друг другу.