on-line
Сейчас на сайте 1 пользователь и 27 гостей.

Пользователи на сайте

  • fizportal.ru
Вход в систему
Яндекс.Метрика

10.2. Координатное представление векторов

 Изображение векторов в виде «стрелок» наглядно, однако проводить несколько операций над векторами геометрическим способом не всегда удобно. Поэтому рассмотрим еще один способ описания векторов и действий над ними.
 Введем декартовую систему координат XYZ, в которой построим вектор А так, чтобы его начало совпадало с началом координат. Тогда координатами вектора (мы будем обозначать их Аx, Аy, Аz) называются координаты его конца. Координаты вектора также называют его компонентами (рис. 62).


рис. 62

 Легко показать, что определенные ранее операции умножения вектора на число сложения и вычитания векторов сводятся к соответствующим операциям над компонентами. Так, использование координатного представления вектора и теорему Пифагора можно записать выражением для модуля (длины вектора)

 Покажем, например, правило сложения векторов. Для наглядности рассматриваем векторы, лежащие в одной плоскости, хотя соответствующие правила распространяются на векторы в трехмерном пространстве. Из рис. 63

рис. 63

и определения координат вектора непосредственно следует, что операция

в координатной форме имеет вид

 Аналогично можно доказать и другие правила действий над векторами.
 Несколько сложнее получить выражение для скалярного произведения через компоненты векторов, поэтому мы приведем окончательную формулу без доказательства:

 Без труда можно показать, что для введенных операций справедливы переместительный и сочетательный законы:

 Таким образом, мы имеем прекрасный математический аппарат для компактной записи однотипных соотношений для координат векторов. Кроме того, правила действия над векторами совпадают с привычными правилами арифметики чисел.
 Векторная запись имеет еще одно существенное достоинство. Проводя действия над векторами, мы можем не задумываться над системой отсчета, иными словами, они справедливы в любой системе отсчета! Правда, для того чтобы перейти к численным расчетам, необходимо, конечно, ввести систему отсчета, но это можно сделать только на последнем этапе, когда основные соотношения получены в векторной форме.
Заметим, что о векторе можно говорить как о тройке чисел (компоненты вектора). Однако не любая тройка чисел является вектором — компоненты вектора подчиняются определенным законам преобразований (например, при переходе в другую систему координат). В каких же случаях можно пользоваться векторным исчислением? Ответ на этот вопрос должна давать физика (а не математика). Подчиняются ли рассматриваемые физические величины тем же правилам, что и векторы?

 Кстати, любое использование математического аппарата требует физического обоснования. Яркий пример: всегда ли в физике 1 + 1 = 2? Попробуйте смешать 1 литр воды и 1 литр этилового спирта − суммарный объем смеси окажется меньше двух литров! Причиной этого является перестройка взаимного расположения молекул в растворе. Но как это объяснить математикам?