on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 27 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

1.7. Полярная система координат

 Декартовая система координат на плоскости является, безусловно, самой простой, однако не единственно возможной. Во многих случаях предпочтительнее использовать другие криволинейные системы координат.
 Среди этих координат наиболее часто используется полярная система (рис. 9).


рис. 9

 Положение точки А на плоскости в этом случае описывается координатами: величинами ρ − полярное расстояние (ОА) и φ − полярный угол (АОх). Очевидно, что координата ρ неотрицательна, угол φ может принимать любые значения. Легко выразить декартовые координаты точки через полярные:
x = ρcosφ; y = ρsinφ. (1)

Обратное преобразование несколько сложнее:
ρ = √{x2 + y2}; φ = arctg(y/x) ± kπ. (2)

 Заметим, что полярный угол определяется неоднозначно, при добавлении к нему любого кратного положение точки на плоскости не изменяется. Эта неоднозначность редко приводит к недоразумениям, зато оговоренное произвольное (от минус до плюс бесконечности) изменение угла позволяет легко и красиво описывать некоторые виды механического движения тел (например, вращение).
 Получим теперь формулы преобразования координат точки при повороте системы координат. Рассмотрим две декартовые системы координат ХОY и Х/ОY/, начала отсчета которых совпадают, а оси повернуты на некоторый угол φo (рис. 10).

рис. 10

Очевидно, что в обеих системах расстояния до начала отсчета одинаковы, а полярные углы связаны линейным соотношением
ρ/ = ρ, φ/ = φ − φo. (3)

 Эти простые формулы и выражают преобразования координат при повороте осей.
 Получим также и формулы преобразования поворота для декартовых координат. Запишем выражения для декартовых координат в «штрихованной» системе отсчета
x/ = ρ/cosφ/ = ρcos(φ − φo);

y/ = ρ/sinφ/ = ρsin(φ − φo).

и используем известные тригонометрические формулы для синуса и косинуса разности углов:
x/ = ρcos(φ − φo) = ρcosφcosφo + ρsinφsinφo;

y/ = ρsin(φ − φo) = ρsinφcosφo − ρcosφsinφo.

Наконец, замечая, что
ρcosφ = x, а ρsinφ = y,

получим искомые выражения:
x/ = xcosφo + ysinφo; y/ = ycosφo − xsinφo. (4)

 Заметьте, что формулы обратного преобразования получаются из системы (4) посредством очевидной замены φo на −φo, что также является следствием относительности координат.
 Эти преобразования, конечно, можно было получить и геометрическим способом с помощью приведенного рисунка.

Упражнения.
 1. Покажите, что формулы преобразования (4) не изменяют расстояния до начала координат.
 2. Покажите, что расстояние между двумя точками, полярные координаты которых (ρ1, φ1) и (ρ2, φ2), определяется по формуле

S = √{ρ12 + ρ22 − 2ρ1ρ2cos(φ1 − φ2)}.