on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 45 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

1.6. Расстояние между двумя точками

 Если нам известны координаты точек (естественно, в заданной системе координат), то однозначно известно их положение. Поэтому можно найти любые геометрические характеристики их взаимного расположения. Получим формулы, позволяющие по известным координатам двух точек вычислить расстояние между ними.
 В простейшем случае, когда две точки А1 и А2 находятся на одной оси, расстояние между ними определяется формулой

s = |x2 − x1|, (3)

где х1, х2 − координаты точек А1 и А2 соответственно.
 Очевидно, что расстояние от А1 до А2 равно расстоянию от А2 до А1, что и привело у к тому, что в формуле (3) появился знак модуля числа.
 Пусть на плоскости задана система координат ХОY, в которой координаты точки А1 равны х1 и у1, а координаты точки А2, соответственно, равны х2 и у2 (рис. 8).

рис. 8

 В прямоугольном треугольнике А1А2В длина стороны А2В равна 2 − х1|, а длина стороны А1В = |у2 − у1|, поэтому расстояние между точками А1 и А2 можно найти по теореме Пифагора:
s = √{(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2}. (4)

Упражнение.
 Покажите, что расстояние между двумя точками в пространстве вычисляется по формуле

s = √{(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2}.

 Давайте теперь попытаемся вычислить расстояние между этими же точками, но в другой системе отсчета Х/О/Y/, которая сдвинута относительно исходной системы координат ХОY. В этой системе отсчета координаты точек А1 и А2 можно найти по формулам преобразований (1)

x1/ = −xo + x1; x2/ = −xo + x2. (5)

Как следует из этих формул,
х2 − х1 = х2/ − х1/,

что, впрочем, и должно быть: если вторая точка лежит правее первой, то это их взаимное расположение не зависит от выбора системы координат, расстояние между проекциями точек на одну и ту же ось не зависит от начала отсчета. Аналогичное соотношение можно записать и для координат у этих точек, поэтому, как следует из здравого смысла, результат вычисления по формуле (4) не зависит от выбора системы координат (конечно, при неизменной единице измерения длины). Мы показали это для преобразования сдвига, однако очевидно, что и при повороте системы координат формула (4) должна давать один и тот же результат. Весьма интересная ситуация: все четыре координаты при изменении системы отсчета изменяются, а величина расстояния остается неизменной!
 Величины, которые остаются неизменными при изменении системы координат, называются инвариантными.
Вот еще одно подтверждение возможности использования систем координат − можно найти физические величины, которые не зависят от выбора системы координат. Поиск таких инвариантных физических вели¬чин очень важен, потому что, как правило, именно они проще всего поддаются измерению, именно они фактически определяют протекание того или иного физического процесса, именно они убеждают скептиков в возможностях правильного физического описания различных явлений.