Подготовка к олимпиаде. Метод экстремума потенциальной энергии

Метод экстремума потенциальной энергии

Рассмотрены условия равновесия систем, подверженных одновременно нескольким воздействиям. Решаются задачи статики, гидростатики, динамики вращательного движения, молекулярной физики и электростатики.

Говоря о вариационных принципах механики, невозможно обойти вниманием «Трактат по динамике» Д'Аламбера (1743 г.). В нем изложены три принципа механики.

1. Принцип силы инерции.

Д'Аламбер наряду с Галилеем и Ньютоном признает за телами свойство сохранять то состояние, в котором они находятся.

2. Принцип сложения движений.

Это обобщение опытных данных – принцип суперпозиции движений. Из него очевидны, например, параллелограммы скоростей и сил. Первые два принципа подробно рассматриваются в школьном курсе физики, и мы так же будем говорить о них. Подробнее мы остановимся на третьем.

3. Принцип равновесия.

Д'Аламбер следует за Мопертюи, который в 1740 г. доказал, что в равновесии системы экстремальна величина «сумма сил покоя». Что же эта за величина?

Для равновесия системы необходимо стационарность ее потенциальной энергии. Это означает, что при малых отклонениях системы изменение $U$ незначительно. Ниже будет показано, что условием равновесия является экстремум потенциальной энергии. Если в системе действуют диссипативные силы (силы жидкого трения, например), то и при их наличии условие равновесия – стационарность (экстремум) – выполнимо, так как в положении равновесия ($v = 0$) диссипативные силы равны нулю.

Если система ограничена идеальными связями, не производящими работы при любых, как мы уже показали, виртуальных перемещений, то стационарность $U$, $U_{min}$ и $U_{max}$ соответствуют равновесию, устойчивому и неустойчивому.

Пусть тело находится в поле консервативных сил. Каждой точке такого поля ставится в соответствие сила. Такие поля называются потенциальными. Работа консервативных сил по замкнутому контуру равна нулю, не зависит от формы пути и равна убыли потенциальной энергии. При перемещении тела на малое расстояние $dx$ сила $F_x$ совершает работу $F_xdx$. Ясно, что $F_x = \frac{dU}{dx}$. Поскольку в положении равновесия

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \vec{F_i} = 0$, то $\frac{dU}{dx} = 0$,

то есть потенциальная энергия экстремальная.

Для решения задач на нахождения условия равновесия системы необходимо найти выражение для потенциальной энергии, продифференцировать его и, приравняв к нулю, решить относительно неизвестного.

Задача 1. Гладкий однородный стержень длиной $2L$ опирается на край гладкой, неподвижной полусферической чашки радиуса $R$ (рис.). Какой угол $\alpha$ образует стержень с горизонтом в положении равновесия? Трением пренебречь.

Равновесие систем, в которых работа связи определяется изменением потенциальной энергии, также описывается условием экстремума. Пример тому – равновесие тела в жидкости. Найдем потенциальную энергию тела, погруженного в жидкость. Пусть тело массы $m$ и объема $V$ перемещается внутри жидкости плотности $\rho$ на $\Delta h = h_1 – h_2$. Работа силы тяжести $A_1 = mg\Delta h$, архимедовой силы $A_2 = -\rho gV\Delta h$. Суммарная работа

$A = A_1 + A_2 = (m - \rho V)gh_1 – (m - \rho V)gh_2$.

равна убыли потенциальной энергии

$A = U_1 – U_2$.

Значит, $U = (m - \rho V)gh$.

Задача 2. Однородная тонкая палочка шарнирно укреплена за верхний конец. Нижняя ее часть погружена в воду ($\rho_0$), причем равновесие достигается тогда, когда она расположена наклонно к поверхности воды и в воде находится ее половина. Какова плотность материала палочки ($\rho$)?

Консервативными могут быть не только природные силы, но и фиктивные. Это означает, что о поле центробежных сил инерции можно говорить, как о потенциальном.

Пусть тело массы $m$ вращается вокруг точки $O$ с постоянной угловой скоростью $\omega$ на расстоянии $r$ от центра вращения. В неинерциальной системе отсчета на него действует центробежная сила инерции, направленная вдоль радиуса от центра вращения и равная $F_{цб} = m\omega^2 r$. Пусть тело переместилось на малое расстояние $dl$, в пределах которого $F_{цб}$ стационарна. Работа этой силы

$dA = m\omega^2 rdlcos\alpha$.

Но $dlcos\alpha = dr$ (рис.).

Поэтому

$A = \int\limits_{R_1}^{R_2}m\omega^2 rdr = \frac{1}{2}m\omega^2 r_2^2 - \frac{1}{2}m\omega^2 r_1^2$,

откуда

$U = \frac{1}{2}m\omega^2 r^2$.

 

Задача 3. На гладкое проволочное кольцо радиуса $R$ надет маленький шарик массой $m$ (рис.). Кольцо вместе с шариком вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через диаметр кольца с угловой скоростью $\omega$. Где находится шарик?

Экстремум энергии обуславливает равновесие систем, подверженных одновременно нескольким взаимодействиям. Напомним, что потенциальная энергия упругой деформации $U = \frac{kx^2}{2}$, потенциальная энергия заряда $q$ в поле заряда $Q$: $U = \frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0\varepsilon r}$, энергия свободной поверхности жидкости $U = \sigma S$.

Задача 4. Тонкое резиновое кольцо массой $m$ и радиуса $R_0$ раскрутили вокруг его оси до угловой скорости $\omega$. Найти новый радиус кольца, если жесткость резины $k$.

Задача 5. Какой радиус будет иметь капля, которой сообщили заряд $Q$, если коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$?

Задача 6. Металлическая цепочка длиной $l$ и массой $m$, концы которой соединены, насажена на деревянный диск, вращающийся с частотой $\nu$. Определите силу натяжения цепочки.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 7. Тяжелый стержень согнули в середине под углом $90^0$ и подвесили свободно за один из концов. Какой угол образует прикрепленная сторона с вертикалью?

Задача 8. Стержень $OA$ вращается около вертикальной оси с угловой скоростью $\omega$. Угол между осью и стержнем равен $\alpha$ (рис.). По стержню без трения скользит муфта массой $m$, связанная с точкой $O$ пружинкой с начальной длиной $l$ и жесткостью $k$. Определить положение муфты при вращении.

Задача 9. В горизонтальную трубу длиной $L$ помещен положительно заряженный шарик. Вблизи концов трубы находятся с одной стороны закрепленный заряд $+q_1$, с другой – закрепленный заряд $+q_2$. Найти положение равновесия шарика.

Задача 10. Одна пластина плоского конденсатора закреплена неподвижно, другая подвешена на пружине жесткостью $k$. Площадь каждой пластины $S$. Как изменится длина пружины, если пластинам сообщить равные и противоположные по знаку заряды $Q$? Поле между пластинами считать однородным.