Подготовка к олимпиаде. Метод виртуальных перемещений

Виртуальные принципы механики. Метод виртуальных перемещений

Этим методом решены задачи статики, гидростатики, динамики, электростатики. Показано применение метода для вывода формул.

Основная задача механики состоит в нахождении в любой момент времени параметров, характеризующих состояние движущейся системы. Наряду с другими способами описания (графический, табличный и т. д.) наиболее широкое распространение получил аналитический.

В основе механики лежат принципы. Это положения, которые отражают общие закономерности механических явлений, из которых можно получить уравнения движения. Различают вариационные и невариационные принципы механики. Их появление связано с именами Ньютона, Даламбера, Лагранжа, Мопертюи, Бернулли и др.

Невариационные принципы механики устанавливают закономерности движения, совершаемого системой под действием приложенных сил. Это, например, широко используемый в школьном курсе физики второй закон Ньютона. Но в механике принципиально возможны два пути описания процессов: силовой (невариационный) и энергетический.

Путь силового описания ограничен тем, что не всегда в задаче известны или очевидны все силы взаимодействия, например силы реакции связей (натяжение нити, реакция плоскости). Другим недостатком является наличие большого числа уравнений, усложняющее решение. Энергетический подход (вариационные принципы) имеет то преимущество, что уравнения движения не содержат неизвестных реакций связи и дают не громоздкие, а порою и очень изящные решения.

Вариационные принципы механики в свою очередь подразделяются на дифференциальные и интегральные. Ниже мы рассмотрим в качестве дифференциального – метод виртуальных перемещений, интегрального – следствие из принципа наименьшего действия (экстремум энергии).

В 1717 г. Иоганн Бернулли в письме Вариньону описал новый способ решения статических задач. В основе этого способа лежит свойство сил реакции связи, полная работа которых при малом отклонении системы от положения равновесия равна нулю.

Это свойство сил реакции связано с законом сохранения энергии: поддержание связей в положении равновесия не требует расхода энергии (силы реакции приложены, однако нет смещения точек системы). Заметим, что в положении равновесия на точки системы действуют, кроме сил реакций, и внешние силы, которые существенно влияют на силы реакции. При бесконечно малом положительном отклонении системы от положения равновесия работа внешних сил будет неотрицательной, то есть $A_{вн} \geq 0$. Аналогично, при отрицательном отклонении $A_{вн} \leq 0$.

Поскольку для системы принципиально возможны и положительные и отрицательные отклонения, то их единство в противоположности выражается условием

$A_{вн} = 0$.

Формулировка принципа. Для равновесия любой механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ, действующих на систему сил при любом виртуальном перемещении, равнялась нулю.

Задача 1. (Лагранжа). В системе, изображенной на рисунке, к нижнему блоку подвешен груз массой $m$. Какую минимальную силу надо приложить к свободному концу нити, чтобы удержать систему в равновесии? Нити нерастяжимы, блоки невесомы. Нити между блоками считать параллельными.

В роли виртуального перемещения может выступать угол.

Задача 2. В коробке K заключен передающий механизм неизвестной конструкции (рис.). При повороте ручки $P$ вертикальный винт $B$ плавно поднимается. При одном полном обороте (радиус оборота $r$) винт перемещается на расстояние $h$. На винт кладут груз массой $m$. Какое усилие надо приложить к ручке, чтобы удержать систему с грузом в равновесии?

Задача 3. Имеется цепочка, содержащая $N$ одинаковых невесомых звеньев, скрепленных шарнирно (рис.). Пренебрегая трением, определите, какое натяжение должна выдерживать нить, соединяющая точки $1$ и $2$, если к цепочке подвесить груз массой $m$.

Задача 4. Вывести формулу избыточного давления внутри сферического пузыря.

Задача 5. Каким станет избыточное давление, если равномерно по сфере распределить заряд $q$?

Задача 6. Жидкость с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$ налита в большой сосуд. Две вертикально расположенные параллельные пластины касаются поверхности жидкости (рис.). Расстояние между пластинами $d$. Пластины подключают к источнику с разностью потенциалов $U$. Какова будет высота $h$ столба жидкости между пластинами после установления равновесия?

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 7. Петля из гибкой тяжелой цепи массы $m$ надета на гладкий прямой круговой конус, высота которого $H$, а радиус основания $R$ (рис.). Цепь покоится в горизонтальной плоскости. Найти натяжение цепи.

Задача 8. Электрический заряд $Q$ равномерно распределен по тонкой, абсолютно жесткой металлической сфере радиуса $R$. Какая сила действует на единицу площади поверхности со стороны заряда?

Задача 9. На некотором расстоянии $x$ от горизонтально поддерживаемой балки с грузами $m_1$ и $m_2$ находится нижний конец пружины, верхний конец которой закреплен. Пружину растянули и прикрепили к концу балки с грузом $m$, при этом балка осталась в горизонтальном положении после того, как ее отпустили. Жесткость пружины $k$, плечи рычага $l_1$ и $l_2$. Найти $x$ (рис.).

Задача 10. Два однородных стержня, массы которых $m_1$ и $m_2$ опираются на гладкие вертикальные стенки и гладкую горизонтальную поверхность (рис.). Найти соотношение между углами $\alpha_1$ и $\alpha_2$ при равновесии системы.