Подготовка к олимпиаде. Метод экспоненты

Метод экспоненты

Изложены важные экспоненциальные законы и формулы, показаны способы их получения (формулы Циолковского, барометрической, закона радиоактивного распада и других).

Предполагаемый метод экспоненты в некотором роде является комбинацией методов ДИ и аналогий. Экспонента обладает тем замечательным свойством, что ее первая производная имеет наиболее простой вид:

$(e^x)^/ = e^x$,

то есть повторяет саму функцию.

Поясним суть метода на конкретных примерах, которые показывают, что мгновенные значения параметров физических процессов можно находить, избегая грубого усреднения.

Задача 1. В момент времени $t = 0$, когда скорость лодки $v_0$, отключают двигатель. Найти зависимость скорости лодки от времени. Сила сопротивления пропорциональна скорости.

Задача 2. Найти зависимость давления атмосферы от высоты.

Задача 3. Найти зависимость температуры тела от времени, если температура окружающей среды $T_c = 0$ и при $t = 0$ температура тела $T_0$.

Задача 4. Найти работу газа при изотермическом расширении от $V_1$ до $V_2$ (рис.).

Задача 5. В схеме изображенной на рисунке в момент $t = 0$, когда заряд конденсатора равен $q_0$, замыкают ключ. Найти зависимость $q = q(t)$.

Задача 6. Радиоактивный распад характеризуется постоянной $\lambda$, которая показывает, что из большого числа $N$ радиоактивных ядер в среднем за единицу времени распадается $\lambda N$ ядер. Вывести закон радиоактивного распада.

Задача 7. Закон Бугера устанавливает зависимость интенсивности от толщины слоя поглощающего вещества. Вывести закон.

Задачи для самостоятельной работы.

Задача 8. Вывести формулу Циолковского  в виде $m = m_0 \cdot e^{-v}$.

Задача 9. Доказать, что если в задаче 3 $T_c \neq 0$, то $T = (T_0 – T_c) \cdot e^{-\frac{k}{C}t} + T_c$.

Задача 10. В схеме изображенной на рисунке при $t = 0$ после замыкания ключа идет ток $I_0$. Найти ток в цепи при неустановившемся режиме.