Подготовка к олимпиаде. Метод определения центра масс

Метод определения центра масс

Изложены способы нахождения центра масс, в том числе теорема Вариньона; показано различие между центром тяжести и центром масс.

Центром масс системы называется воображаемая точка, радиус вектор которой

$\vec{R} = \frac{m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + \cdots + m_n\vec{r_n}}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}$.

Обозначим массу системы

$M = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i$,

$M\vec{R} = m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + \cdots + m_n\vec{r_n}$.

Найдем производную по времени:

$M\vec{v_ц} = m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} + \cdots + m_n\vec{v_n}$.

В правой части стоит суммарный импульс системы, а $\vec{v_ц}$ – скорость центра масс.

Таким образом, центр масс системы движется как материальная точка массы $M$. Это теорема о движении центра масс.

Найдя еще одну производную, получим

$M\vec{a_ц} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \vec{F_i^{вн}} = \vec{F}$.

Здесь $\vec{a_ц}$ – ускорение центра масс, $\vec{F_i^{вн}}$ – внешняя сила, действующая на $i$-тое тело системы, а $F$ – равнодействующая всех сил, действующих на систему. Напомним. Что на основании третьего закона Ньютона сумма внутренних сил равна нулю.

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \vec{F_i^{вн}} = 0$.

Этот результат дает возможность сформулировать следующее определение центра масс системы, подверженной внешним воздействиям вне зависимости от их природы. Центр масс такой системы – точка приложения равнодействующей всех сил. В случае действия одних лишь сил тяжести центр масс системы заменяют совпадающим с ним, но более узким по содержанию понятием центра тяжести.

В следующих задачах рассмотрим способы нахождения центра масс, а в следующей главе продемонстрируем применение теоремы о его движении.

 

Задача 1. К концам невесомого стержня длиной $l$ приложены силы $F_1$ и $F_2$ (рис.). Найти точку приложения равнодействующей силы.

Задача 2. Найти центр масс системы изображенной на рисунке.

Решив эти две задачи, мы фактически методом математической индукции доказали теорему Вариньона: момент равнодействующей относительно произвольно выбранной оси равен сумме моментов всех сил относительно этой же оси. Эта ось проходит через точку $A$. Теорема дает возможность находить центр масс, причем ось удобно выбирать в точке приложения нескольких сил (моменты этих сил будут равны нулю).

Задача 3. Из тонкого однородного диска радиуса $R$ вырезан диск радиуса $r$ ($r < \frac{R}{2}$). Расстояние между центрами диска $O$ и полости равно $a$ ($a > r$). Найти расположение центра масс.

Задача 4. На рисунке изображены цепочка длиной $L$ и два стержня длиной $L/2$ каждый. Чей центр масс выше?

 

Задача 5. На поверхности воды плавает деревянный кубик квадратного сечения, плотность кубика в два раза меньше плотности воды. Какое из двух положений равновесия будет устойчивым?

Задача 6. Найти центр масс тонкой проволоки согнутой в виде полуокружности радиуса $r$.

Задача 7. Определить положение центра тяжести однородного тонкого полукруга радиуса $r$.

Задача 8. Брусок $2$ отпускают (рис.). Что произойдет раньше: брусок $2$ ударится о стенку, или $1$ упрется в блок?

Задача 9. На гладкой горизонтальной поверхности на расстоянии $2l$ друг от друга неподвижно лежат два шарика, массой $m$ каждый, связанные невесомой нерастяжимой нитью длиной $2l$. Среднюю точку нити $A$ начинают двигать с постоянной скоростью $v$ в горизонтальном направлении, перпендикулярном нити. Какой путь пройдет точка $A$ до момента столкновения шаров?

Задачи для самостоятельной работы.

Задача 10. Определить положение центра тяжести тонкой однородной проволоки, прогнутой по дуге радиуса $r$r (рис.).

Задача 11. Определить положение центра тяжести тонкой однородной пластинки, представляющей собой сектор радиуса $r$, имеющей центральный угол $\alpha$ (рис.).

Задача 12. Найти центр масс фигуры (рис.).