Подготовка к олимпиаде. Метод обратимости и от противного

Метод обратимости и от противного

Рассмотрены задачи кинематики, динамики, термодинамики, электростатики, которые можно решать «наоборот».

Обратимость – это свойство равновесных процессов, т. е. таких, которые можно осуществить в обратном направлении, повторяя все промежуточные состояния прямого процесса. Строго говоря, реальные процессы необратимы, но в физике изучается довольно много квазистационарных процессов (квази – почти).

Метод обратимости дает возможность упростить решение прямой задачи, когда удается переформулировать ее условие с тем, чтобы воспользоваться известными соотношениями.

Обратимы, например, прямая и обратная задачи механики. В термодинамике обратимы все замкнутые процессы – например циклы Карно, Отто, Дизеля.

В электродинамике идея обратимости электрических и магнитных явлений, предугаданная Фарадеем после открытия Эрстеда в 1820 г., привела к формулировке закона электромагнитной индукции в 1831 г. Обратимость электромагнитных явлений материализована в двигателях и генераторах.

Яркой иллюстрацией ее могут служить все периодические процессы: от механических колебаний маятника до электромагнитных колебаний в контуре.

Известно, что все законы геометрической оптики обладают обратимостью. Применяемые для получения позитивного изображения пластинки и пленки являются еще одним примером.

Не является исключением обратимость и в ядерной физике. Наглядным тому примером могут служить взаимопревращения элементарных частиц.

Понять суть метода помогут следующие задачи.

Задача 1. За последние полсекунды свободно падающее тело проходит путь, равный $30$ м. Найти скорость тела в момент приземления.

Задача 2. За пятую секунду равнозамедленного движения тело проходит 5 см и останавливается. Какой путь прошло тело за третью секунду?

Задача 3. Необходимо поставить в небольшой просвет между вереницей автомашин, стоящих вдоль тротуара, еще одну. Как следует заезжать в просвет: передним или задним ходом, если поворачиваются только передние колеса?

Задача 4. Откуда необходимо бросить маленький шарик на жестко закрепленную на горизонтальной плоскости полусферу радиусом $R$, чтобы он остановился в ее вершине?

Задача 5. В калориметре медленно остывает расплав исследуемого вещества. Удельная теплота плавления вещества $200$ кДж/кг. По графику зависимости температуры вещества от времени определить удельные теплоемкости вещества в твердом и жидком состояниях. Теплоемкостью калориметра пренебречь (рис.).

Задача 6. Проводящая сфера разбилась на несколько осколков, разлетающихся на несколько осколков, разлетающихся на большие расстояния друг от друга. Осколки в произвольном порядке соединяют тонкими проводами. Что больше емкость сферы ($C_1$) или емкость системы ($C_2$)? Емкостью проводов пренебречь.

В разных разделах физики нередко встречаются задачи, в которых требуется разрешить альтернативу, т.е. из двух возможных вариантов какого-либо явления выбрать один, реализуемый в указанных условиях. В большинстве случаев при решении таких задач используют разные подходы и методы в зависимости от тематики задачи, личных приоритетов учителя. Иногда все определяет просто случай.

А можно предложить единый подход, единый алгоритм решения подобных задач независимо от раздела физики (и не только физики), к которому относится конкретная задача. Он заключается в следующем. Из двух возможных вариантов предполагается любой, и, исходя из сделанного предположения, решается задача. Если в конце приходят к противоречию, то это означает, что предположение было неверным – правильный вариант не был угадан. В таких условиях ответом задачи будет вариант, который остался невыбранным решающим. Если же в конце задачи сделанное предположение находит подтверждение, то оно и является правильным ее ответом (при альтернативном выборе он был угадан).

Следует заметить, что альтернативный подход к решению многих вопросов используется в разных науках. Например, в математике он известен под названием "доказательства от противного". Делают предположение, обратное тому, которое надо доказать, и, придя к противоречию, тем самым утверждают (доказывают) требуемое.

Рассмотрим несколько примеров использования альтернативного метода в решении физических задач.

Задача 7. Поплавок из пенопласта с прикрепленной к нему свинцовой дробинкой погружается в воду на $70$ % своего объема. Утонет ли поплавок при прикреплении к нему второй такой же дробинки? Плотность воды $\rho_0 = 1,0$ г/см3, плотность пенопласта $\rho = 0,22$ г/см3.

Задача 8. Ледяная горка наклонена к горизонту под углом $\alpha = 3^0$. Сможет ли человек без разбега подняться на горку, если коэффициент трения скольжения подошв его обуви по льду $\mu = 0,04$?

Задача 9. Лестница прислонена к гладкой вертикальной стене под углом $\alpha = 30^0$. Сможет ли человек подняться по лестнице до ее середины прежде, чем лестница начнет скользить по горизонтальному полу, если коэффициент трения скольжения $\mu = 0,35$?

Задача 10. Вечером при температуре воздуха $t_1 = 16 ^0C$ его относительная влажность была $\varphi_1 = 60 \text{%}$. Выпадала ли роса, если к утру температура воздуха понизилась до значения $t_2 = 4 ^0C$? Давление насыщенного водяного пара при $16 ^0C$ $p_{н1}$ = 1,80 кПа, а при $4 ^0C$ – $p_{н2}$ = 0,81 кПа.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 11. Тормозной путь автомобиля $320$ м. Считая движение равнозамедленным, разбить весь путь на такие $4$ участка, на прохождение каждого из которых затрачено одинаковое время.

Задача 12. Кастрюлю, в которую налит $1$ л воды, никак не удается довести до кипения при помощи нагревателя мощностью $100$ Вт. Определите, за какое время вода нагрелась на последний градус.

Задача 13. В полосе шириной $d = 1$ см создано однородное магнитное поле индукции $B = 1,2 \cdot 10^{-2}$ Тл. Пучок $\alpha$-частиц направляется перпендикулярно к полосе и к линиям вектора магнитной индукции. Пролетят ли частицы сквозь полосу магнитного поля, если их скорость $4,2 \cdot 10^4$ м/с? $\frac{q}{m} = 4,8 \cdot 10^7$ Кл/кг.

Задача 14. Сверху на воду налит слой кедрового масла. Можно ли подобрать такой угол падения света из воздуха на масло, чтобы на границе масло-вода произошло полное отражение света? Показатель преломления воды n = 1,33, показатель преломления масла n2 = 1,52.