Подготовка к олимпиаде. Метод дифференцирования и интегрирования

Метод дифференцирования и интегрирования.

Развитие метода дифференцирования и интегрирования связано с именами Ньютона и Лейбница. В основе его лежат два принципа: 1) принцип возможности представления закона в дифференциальной форме и 2) принцип суперпозиции.

Суть метода состоит в том, что если физический закон выражается в виде

$Z = xy$ (1),

где $x, y, z$ – некоторые физические величины, причем $x = x(\varphi)$, то для нахождения $z$ на интервале $[y_1; y_2]$ выражение (1) неприменимо из-за изменения $x$. Тогда интервал $[y_1; y_2]$ разбивают на конечное число малых промежутков $dy(\Delta y)$, в пределах каждого из которых можно пренебречь изменением $x(y)$.

Тогда

$dZ = x(Y)dY$ или $Z = \int\limits_{y1}^{y2}x(Y)dY$.

Несколько слов о производной и интеграле в физике. Решая задачу о скорости произвольного движения, Ньютон пришел к понятию производной:

$v = x^/ = \lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}$.

То есть производная характеризует быстроту изменения параметров любого физического явления. Лейбниц ввел для производной такое обозначение:

$\dot{a} = \frac{dx}{dt}$.

Таким образом, $\frac{dx}{dt}$ означает отношение конечных соответственных значений малых приращений $dx$ и $dt$.

Известную формулу Ньютона – Лейбница

$\int\limits_a^b{f(x)dx} = F(a) - F(b)$,

где $f(x) = \frac{dF}{dt}$, в физике следует понимать как сумму большого числа слагаемых $\sum{f(x_i)\Delta x_i}$.

На первом этапе метода ДИ следует разделить тело на материальные точки либо траекторию или время на такие промежутки, на которых процесс можно считать равномерным. Затем по принципу суперпозиции произвести суммирование (интегрирование). Иными словами, на первом этапе мы находим вклад одного участка в искомую величину, затем производим суммирование по всем участкам.

Рассмотрим конкретные задачи.

Задача 1. Найти силу гравитационного взаимодействия между расположенными на одной прямой материальной точкой массой $m$ и однородным стержнем длиной $l$ и массой $M$. Расстояние от точки до ближайшего конца стержня равно $C$ (рис. ).

Задача 2. Однородный стержень длиной $L$ и массой $M$ вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг оси проходящей через один из его концов. Найти кинетическую энергию стержня.

Задача 3. Найти кинетическую энергию однородного диска радиуса $R$ и массы $M$, вращающегося с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости.

Метод ДИ успешно применяется для вывода формул.

Задача 4. В поле заряда $Q$ на расстоянии $r_1$ от него находится заряд $q$. Какую работу необходимо совершить, чтобы изменить расстояние между зарядами до $r_2$? (рис.)

Задача 5. Найти количество теплоты, выделяемое переменным током, значение которого изменяется по закону $i = Isin(\omega t + \varphi)$ в течение одного периода в проводнике с сопротивлением $R$.

Задача 6. Закон Био-Савара-Лапласа устанавливает вклад, вносимый в индукцию магнитного поля элементом $dl$ проводника, по которому течет ток $I$:

$dB = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idl sin\alpha}{r^2}$,

$r$ – расстояние до точки, в которой изменяется модуль вектора магнитной индукции $B$, а $\alpha$ – угол между направлением тока и радиус-вектором этой точки. Найти модуль вектора индукции магнитного поля прямого бесконечного тока на кратчайшем расстоянии от проводника (рис.).

Задача 7. Найти модуль вектора магнитной индукции магнитного поля кругового тока в центре витка радиуса $R$.

Задача 8. Найдите работу, чтобы изменить заряд конденсатора емкостью $C$ от значения $q_1$ до $q_2$.

Задача 9. Пусть тело движется прямолинейно со скоростью $v = 5t$ м/с. Найдите закон движения тела, если за первые три секунды оно прошло 20 м.

Задача 10. Найдите путь, пройденный точкой, движущейся прямолинейно, за отрезок времени от $t_1 = 1$ c до $t_2 = 4$ c, если скорость точки $v(t) = 2t^2 + 3t$. Чему равно ускорение точки в момент $t = 2$ c?

Составим таблицу, в которой можно указать использование определенного интеграла при решении физических задач:

1) если в каждой точке оси $Ox$ приложена сила $F = F(x)$, то всю работу на отрезке $[a, b]$ можно записать в виде интеграла:

$A = \int\limits_a^b{F(x)dx}$.

2) если точка $x \in [a, b]$, движется вдоль оси $Ox$ и известна скорость этой точки как функция времени $x = v(t)$, то путь, пройденный точкой $x$ за время $t$, $t \in [t_1, t_2]$, вычисляется по формуле

$S = \int\limits_{t1}^{t2}{v(t)dt}$.

3) если рассмотреть однородный стержень длиной $l$ и линейной плотностью $\rho$, то его масса есть интеграл от его линейной плотности:

$m = \int\limits_0^l{\rho (x)dx}$.

4) если известна величина заряда $q$, который переносится за время $t \in [a, b]$ через сечение проводника, то можно найти его значение:

$q = \int\limits_a^b{I(t)dt}$,

где $I(t)$ – изменение силы тока в зависимости от времени $t$;

5) если известен закон поглощения теплоты, т. е. теплоемкость тела $C = c(t)$, то можно найти количество теплоты в виде интеграла:

$Q = \int\limits_{t1}^{t2}{c(t)dt}$,

где $t \in [t_1, t_2]$.

Задача 11. Найдите силу давления воды на квадратную пластину стороной $a$, помещенную в жидкость так, что плоскость пластины перпендикулярна поверхности жидкости, а одна из сторон пластины расположена на поверхности.

Задача 12. Вычислите работу силы $F$ при сжатии пружины на 0,05 м, если пружина сжимается на 0,02 м под действием силы в 180 Н.

Сделаем замечания к таблице, на которые надо обратить внимание при решении физических задач.

Замечание 1. Скорость истекания жидкости $v$ через круглую дырку в цилиндрическом баке зависит от высоты столба жидкости x и вычисляется по формуле Бернулли $v = \sigma \sqrt{2gx}$, где $g = 9,8$ м/с2; $\sigma$ – коэффициент, который зависит от свойств жидкости. Для воды он равен 0,6. По мере уменьшения столба жидкости $x$ в баке скорость истекания уменьшается (а не постоянная!).

Замечание 2. Работа газа при расширении, т. е. изменение объема от $V_1$ до $V_2$, равна:

$A = \int\limits_{V1}^{V2}{pdV}$,

где $p$ – давление газа.

Если $p = const$, то $A = p(V_2 – V_1)$.

Замечание 3. Сила давления $F$ жидкости на пластинку, которая находится в горизонтальном положении на глубине $h$, вычисляется по закону Паскаля:

$F = \rho ghS$, где $g = 9,8$ м/с2,

$S$ – площадь пластинки; $\rho$ – плотность жидкости.

Пусть пластинка погружена вертикально в жидкость и ограничена линиями

$y = f(x), x = a, x = b, y = 0$

Сила давления жидкости на пластинку

$F = g\int\limits_a^b{\rho xf(x)dx}$.

Задача 13. Тело движется прямолинейно со скоростью $v(t) = 2t^2 – t + 1$ (м/с). Найдите путь, пройденный за первые 5 с.

Задача 14. Уравнение движения по прямой имеет вид $X = A + Bt + Ct^2$, где $A = 2,0$ м, $B = 2,0$ м/с, $С = –0,5$ м/с2. Найти момент времени $t$, в который скорость точки $v = 0$. Чему равна координата $X$и ускорение $a$ в этот момент? Построить графики зависимости от времени координаты, пути, скорости и ускорения.

Задачи для самостоятельной работы.

Задача 15. Какую работу необходимо совершить, чтобы перетянуть брусок массой $m$ и длиной $l$ через шероховатую полосу шириной $L$? Коэффициент трения $\mu$.

Задача 16. Найти модуль вектора индукции магнитного поля в точке $O$ (рис.).

Задача 17. Зависимость пройденного пути $S$ от времени $t$ дается уравнением $S = A + Bt + Dt^3$, где $C = 0,14$ м/с2 и $D = 0,01$ м/с3. Через какое время $t$ тело будет иметь ускорение $a = 1$ м/с2? Найти среднее ускорение $a_{cp}$ тела за этот промежуток времени.

Задача 18. Шар радиусом $R = 6$ см удерживается внешней силой под водой так, что его верхняя точка касается поверхности воды. Какую работу $A$ произведет выталкивающая сила, если отпустить шар и предоставить ему свободно плавать? Плотность материала 500 кг/м3.

Задача 19. Имеется кольцо радиусом $R$R. Радиус проволоки $r$, плотность материала $\rho$. Найти силу, с которой это кольцо притягивает материальную точку массой $m$, находящую на оси кольца на расстоянии $L$ от его центра.