Подготовка к олимпиаде. Метод усложнений – упрощений

Метод усложнений – упрощений

Рассмотрены некоторые способы введения новых элементов, казалось бы усложняющих задачу, но всегда дающих эффектные решения.

Рассматриваемый ниже метод усложнения – упрощения – это своеобразное использование анализа и синтеза. Думается, что любая физическая задача решается с применением каких-то упрощений с последующим усложнением. Да и в теории мы знакомимся с физическими идеализациями – материальной точкой, абсолютно черным телом, идеальным газом и другими. А как быть, например, с реальным газом, если мы изучили идеальный? Для реальных газов вводятся поправки на молекулярный объем и межмолекулярное взаимодействие.

В некоторых задачах удобно разбить систему на составные части или, наоборот, «достроить» ее, упрощая тем самым ход решения. Впрочем, готовых рецептов здесь нет, а опыт и видение метода достигаются упражнениями.

Задача 1. Доска массой $m$ и длиной $l$ лежит на горизонтальном полу. Коэффициент трения доски о пол равен $\mu$. Какую работу нужно совершить, чтобы повернуть доску в горизонтальной плоскости на малый угол $\alpha$ вокруг одного из концов?

Задача 2. В полусферический колокол, плотно лежащий на столе, наливают через отверстие вверху воду. Когда вода доходит до отверстия, она приподнимает колокол и начинает вытекать снизу. Радиус колокола $R$, плотность воды $\rho$. Найдите массу колокола M.

Задача 3. Тело массой $m$ по произвольной траектории соскальзывает с высоты $H$ на горизонтальную плоскость. Известно, что его конечная скорость равна нулю. Какую работу необходимо совершить, чтобы втащить тело назад по той же траектории?

Задача 4. Плотности поверхностного заряда на прямоугольных пластинах плоского конденсатора равны $+\sigma$ и $-\sigma$. Расстояние между пластинками меньше размера пластин. Определить напряженность электрического поля в точке $A$.

Задача 5. Сплошной однородный медный диск радиусом $R$ подключен к двум радиально идущим проводам, по которым подводится и отводится постоянный ток $I$. Точки подключения расположены на краю диска и видны из его центра под углом $\varphi = \frac{\pi}{3}$. Определите магнитное поле в центре диска.

Задача 6. Какая сила действует в сечении однородного стержня длиной $l$ на расстоянии $x$ от конца, к которому приложена сила $F$, приложенная вдоль стержня (рис. а)?

Задача 7. Найти кинетическую энергию стержня, вращающегося в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. Известны $\omega, m, l$ (рис. а).

Задача 8. Две диэлектрические заряженные нити бесконечной длины расположены в пространстве как две скрещивающиеся перпендикулярные прямые. Линейная плотность зарядов на нитях $\rho$. Найти силу их взаимодействия.

Задача 9. Подземная река упрятана в русло, образованное полуцилиндрическим бетонным куполом ABC радиусом $R$ = 2,0 м и горизонтальной поверхностью AOC (рис.). Найдите силу давления воды $\vec{F}$ на левую половинку BC купола, а также угол $\alpha$, который образует вектор силы $\vec{F}$ с горизонтом. Длина русла (за чертеж) – $L$ = 10 м. Плотность воды $\rho$ = 103 кг/м3. Ускорение свободного падения $g$ = 9,8 м/с2.

Задача 10. Лежащий в сосуде шар из материала плотностью $\rho_1$ имеет герметичную сферическую полость, радиус которой вдвое меньше радиуса $R$ шара. Центр полости находится на расстоянии $R/2$ от центра шара. К точкам на поверхности шара, находящимся на концах диаметра, проходящего через центры шара и полости, приклеены две одинаковые невесомые нерастяжимые нити, длина каждой из которых больше $R$. Расстояние между точками крепления других концов нитей к горизонтальному дну сосуда равно $2R$. В сосуд наливают жидкость плотностью $\rho$ до тех пор, пока шар не окажется полностью погруженным в жидкость. При этом обе нити оказываются натянутыми. При каких значениях отношения $\rho/\rho_1$ возможна такая ситуация?

Задача 11. Свинцовый шар $R$ = 50 см имеет внутри сферическую полость радиуса $r$ = 5 см, центр которой находится на расстоянии $d$ = 40 см от центра шара. С какой силой будет притягиваться к шару материальная точка $m$ = 10 г, находящаяся на расстоянии $l$ = 80 см от центра шара, если линия, соединяющая центры шара и полости, составляет угол $60^0$ с линией соединяющей центр шара с материальной точкой?

Задача 12. В воде имеется пузырек воздуха радиуса $r$ и железный шарик такого же радиуса. Будут ли они притягиваться друг к другу или отталкиваться? Какова величина силы взаимодействия между ними? Расстояние между центрами шарика и пузырька равно $R$.

Задачи для самостоятельной работы.

Задача 13. Внизу запаянной с обоих концов пробирки высотой $h$ находится маленький пузырек воздуха. Плотность жидкости $\rho$. Пробирку перевернули. Каково давление на ее дно?

Задача 14. Найти напряженность поля плоского конденсатора в точке $A$. Известны $\sigma$ и $\varepsilon$ (рис.).

Задача 15. Кольцо радиуса $R$ имеет сопротивление $r$ и находится в однородном магнитном поле. Вектор магнитной индукции $B$ направлен перпендикулярно кольцу. Какой заряд протечет по кольцу, если его перевернуть?

Задача 16. Тело массой $m = 1$ кг, свободно падает в течение $\tau = 6$ с, попадает на Землю с географической широтой $\varphi = 30^0$. Учитывая вращение Земли, определить отклонение тела при его падении от вертикали.

Задача 17. В металлическом шаре массой $M$ и радиусом $R$, на расстоянии от центра $\frac{3}{4}R$, сделана сферическая полость радиуса $\frac{1}{4}R$. Определить силу притяжения между этим шаром и маленьким шариком массы $m$, находящимся на расстоянии $r$ по прямой, проходящей по диаметру полости.