Подготовка к олимпиаде. Метод максимума и минимума

Метод максимума и минимума

Излагаются некоторые математические и физические способы нахождения минимума и максимума функций физических величин.

Часто приходится решать задачи, в которых необходимо определить наибольшее (наименьшее) значение величины из всех возможных. Метод решения таких задач получил название «min» «max». Его основы следуют, например, из принципа Ферма, экстремума энергии.

Однако в некоторых задачах удается обойти сложности дифференциального исчисления, особенно если функция физической величины – квадратичная или тригонометрическая. Иногда удается воспользоваться известными алгебраическими неравенствами, например Коши. Случается, что само условие физической задачи накладывает ограничения на ответ. Часто в решении помогают графики. Покажем это на примерах.

Задача 1. Нагруженные сани массой $m$ движутся равномерно по горизонтальной поверхности под действием силы $F$. Коэффициент трения $\mu$. Найти значение минимальной силы и угол между силой и горизонталью.

Задача 2. К висящей очень тонкой пружине жесткостью $k$ подвешен шарик. Вначале пружина не растянута. Затем шарик отпускают. Какой наибольшей скорости достигнет шарик при своем движении? Масса шарика $m$.

Задача 3. Однородный тяжелый канат, подвешенный за один конец, не рвется, если длина каната не превышает значение $l_0$. Пусть тот же канат соскальзывает под действием силы тяжести из горизонтально расположенной трубки с загнутым вниз концом. При какой наибольшей длине канат соскользнет, не порвавшись? Трение отсутствует.

Задача 4. При каком значении $R$ мощность во внешней цепи максимальна (рис.)?

Задача 5. Найти максимальное напряжение на конденсаторе и максимальный ток в цепи (рис.).

Задача 6. Две собирающие тонкие линзы с фокусными расстояниями $F_1$ и $F_2$ расположены друг за другом на расстоянии $L$ так, что их главные оптические оси совпадают. Перед первой линзой на расстоянии $d_1$ расположен предмет. Эта система дает прямое увеличенное изображение предмета. При каких $L$ это возможно?

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 7. Точки $1$ и $2$ движутся по осям $x$ и $y$ к началу координат. В момент $t = 0$ точка $1$ находится на расстоянии $S_1 = 10$ см, а точка $2$ на расстоянии $S_2 = 5$ см от начала координат. Первая точка движется со скоростью $v_1 = 2$ см/с, а вторая $v_2 = 4$ см/с. Каково наименьшее расстояние между ними в процессе движения?

Задача 8. Имеется множество наклонных плоскостей с одинаковыми основаниями, равными $b$, но с разными высотами. При какой высоте $h$ время соскальзывания тела по наклонной плоскости без трения будет минимальным?

Задача 9. Тонкая положительная линза имеет фокусное расстояние $F$ и дает действительное изображение предмета. Каково минимальное расстояние между предметом и его изображением?

Задача 10. На горизонтальной плоскости находится цилиндр диаметром D = 20 см. Какую минимальную скорость необходимо сообщить телу, находящемуся на горизонтальной плоскости, чтобы перебросить через цилиндр?