Подготовка к олимпиаде. Метод расчета параметров больших систем

Метод расчета параметров больших систем

Рассмотрены некоторые специальные приемы, используемые при решении задач с большим числом элементов, без которых задачи не решаются.

В целом ряде случаев возникает необходимость рассчитать параметры систем, содержащих очень большое количество элементов. Оно может быть конечно, но не задано, может быть и бесконечным. Понятно, что прямые расчеты затруднительны, поэтому требуются либо специфический математический аппарат, либо обходные пути. Некоторые подобные задачи рассмотрены ниже.

Задача 1. На очень гладкую доску длиной $L$, в конце которой находится упругая массивная преграда, с интервалом $\Delta \tau$ ставят и толкают с начальной скоростью $v_0$ один за другим большое число $N$ одинаковых маленьких кубиков. Кубики движутся без трения. Во время столкновения с доской и друг с другом происходит изменение направления движения на противоположное. Через какое время после толчка последнего кубика на доску они все покинут ее? Сколько всего соударений произойдет между кубиками (рис.)?

Задача 2. На черной полуплоскости находится очень большое число $N$ одинаковых шаров. Один из них переносят на белую полуплоскость и под определенным углом с очень большой скоростью пускают на черную, желая выбить максимальное число шаров на белую полуплоскость. Какое максимальное число шаров может быть выбито при любом первоначальном расположении шаров? Трением пренебречь.

Задача 3. Висящий на нити шарик отклонили на угол $\varphi_0$ от вертикали и затем отпустили. При ударе теряется постоянная часть $\alpha$ кинетической энергии ($0 < \alpha < 1$), $T$кинетическая энергия в момент удара. Найти число ударов, после которых шарик отклонится на угол $\varphi^/$ (рис.).

Задача 4. В сосуде объема $V_0$ находится идеальный газ под давлением $p_0$. После $n$ ходов откачивающего насоса, объем рабочей камеры которого $V_1$ в сосуде установится давление $p_n$. Найти $\frac{V_1}{V_0}$. Изменением температуры пренебречь.

Задача 5. Даны $1990$ невесомых металлических пластин, заряженных чередующимися зарядами $+q$; $-q$ и т. д. Емкость каждой пары пластин равна C. Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы поменять заряд каждой из пластин на противоположный?

Задача 6. Имеется неограниченно большое число $N$ точек, каждая из которых соединена с каждой с помощью конденсатора емкости $C$. Определить общую емкость системы между двумя любыми точками.

Задача 7. Конденсатор емкости $C$ заряжен до разности потенциалов $U$. К нему подключают незаряженный конденсатор емкости $C_1$ и после распределения зарядов отключают. Сколько конденсаторов емкости $C_1$ нужно поочередно подключить к данному, чтобы заряд его уменьшился в $N$ раз?

Задача 8. Из бесконечности к полубесконечной цепочке одинаковых зарядов $q$, закрепленных на одинаковых расстояниях $l$ друг от друга, внесли диполь с зарядами $+Q$, $-Q$, расположив на расстоянии $h$ параллельно цепочке зарядов. Длина диполя тоже $l$ (рис.). Определить выполненную работу по внесению диполя.

Задача 9. Имеется безграничная проволочная сетка с квадратными ячейками. Сопротивление каждого проводника между соседними узлами $R_0$. Найти сопротивление этой сетки между точками $A$ и $B$ (рис.).

Задача 10. Имеется большое число $N$ плоско-параллельных стеклянных пластин, причем показатель преломления верхней – $n$, а каждой последующей в $k$ раз меньше, чем предыдущей. Под каким углом $\alpha_0$ должен падать свет на первую пластину, чтобы не выйти из последней?

Задача 11. Из одинаковых батареек, ЭДС которых $\mathscr{E}$, а внутреннее сопротивление $r$, и сопротивлений $R$ собрана «полубесконечная» цепь (число звеньев $n \to \infty$), изображенная на рис. Что будет показывать идеальный амперметр, подключенный к клеммам $AB$?

Задача 12. Очень длинная цепочка составлена из батарей с ЭДС $\mathscr{E} = 12$ B, внутренним сопротивлением $r = 4$ Ом и резисторов с сопротивлением $R = 15$ Ом (рис. a). Определите ЭДС $\mathscr{E_0}$ и внутреннее сопротивление $r_0$ эквивалентной батареи (рис. б)