Для использования этой теоремы для определения напряженности поля, необходимо рассмотреть симметрию поля, которая, очевидно связана с симметрией зарядов. Распределение зарядов не изменится, если плоскость сместить на любой вектор $\vec{a}$, лежащий в самой плоскости. Поэтому при таком смещении не изменится и напряженность поля (рис.).

Следовательно, напряженность поля может зависеть только от расстояния до плоскости $h$. Любая прямая, перпендикулярная плоскости является осью симметрии, то есть при повороте плоскости на любой угол относительно любой оси, перпендикулярной плоскости, распределение зарядов не изменяется – следовательно, и вектор напряженности при таком повороте не изменится, поэтому этот вектор должен быть перпендикулярен плоскости. Наконец, заряженная плоскость является плоскостью симметрии для поля. Поэтому в симметричных точках векторы напряженности также симметричны. Выявленные свойства симметрии электрического поля позволяют выбрать поверхность, для которой можно выразить поток вектора напряженности в простой форме. Итак, в качестве такой поверхности выберем поверхность прямого цилиндра, образующие которого перпендикулярны плоскости, а основания площадью $S$ параллельны ей и находятся на равных расстояниях от плоскости.

Прежде всего, заметим, что поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, так как во всех точках боковой поверхности векторы напряженности $\vec{E}$ и нормали $\vec{n}$ взаимно перпендикулярны (поэтому $cos\alpha = 0$) (рис.).

Поток через верхнее основание цилиндра может быть записан в виде

$Ф_1 = E_1 \cdot S$,

так модуль напряженности поля на основании цилиндра постоянен, а по направлению совпадает с вектором нормали. Такое же значение имеет поток через нижнее основание.

Таким образом, суммарный поток вектора напряженности электрического поля через поверхность цилиндра равен

$Ф = E_1 \cdot S + E_2 \cdot S = 2E \cdot S$.

С другой стороны, по теореме Гаусса

$Ф = \frac{q}{\varepsilon_0}$,

где $q$ – заряд, заключенный внутри поверхности цилиндра:

$q = \sigma \cdot S$.

Следовательно, $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$.

Главная составляющая успеха – анализ симметрии поля, позволивший разумно выбрать поверхность, для использования теоремы Гаусса. Также обратите внимание, что напряженность данного поля одинакова во всех точках, следовательно, это поля является однородным. Подчеркнем, независимость напряженности поля от расстояния до плоскости $h$ никак не следует из симметрии поля, это результат нашего расчета.

Примечание.

Для плоскости, заряженной отрицательно, результат будет таким же, лишь направление вектора $\vec{E}$ изменится на противоположное.

Опять начнем с рассмотрения симметрии поля. Очевидно, что поле, также как распределение зарядов имеет сферическую симметрию. Это означает, что модуль вектора напряженности зависит только от расстояния до центра сферы (или во всех точках, находящихся от центра сферы на одном расстоянии, модуль напряженности постоянен), а направление – радиальное, от центра сферы к точке наблюдения. Выберем в качестве замкнутой поверхности, к которой применим теорему Гаусса, сферу, концентрическую с заряженной оболочкой (рис.).

Пусть радиус сферы $r$ больше радиуса оболочки $r > R$. Тогда во всех точках этой сферы вектор напряженности направлен вдоль нормали к поверхности, а его модуль постоянен. Поэтому поток вектора напряженности $\vec{E}$ через сферу равен произведению модуля напряженности на площадь сферы

$Ф = E \cdot S = E \cdot 4\pi r^2$.

По теореме Гаусса это поток равен $Ф = \frac{q}{\varepsilon_0}$. Следовательно,

$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$, $E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$.

Полученная формула, соответствует формуле закона Кулона для точечного заряда, следовательно, вне сферы, поле равномерно заряженной сферы, совпадает с полем точечного заряда, помещенного в центре сферы.

Поле внутри заряженной сферической оболочки также должно обладать сферической симметрией. Поэтому, поток вектора напряженности электрического поля через сферу, концентрическую с заряженной оболочкой и расположенную внутри нее (рис.)

также выражается формулой

$Ф = E \cdot 4\pi r^2$.

Однако внутри этой сферы электрических зарядов нет, поэтому, из теоремы Гаусса следует, что напряженность поля внутри сферы равна нулю. Подчеркнем, если бы теорема Гаусса была не справедлива, то внутри равномерно заряженной оболочки существовало бы электрическое поле.

Таким образом, функция, описывающая напряженность поля равномерно заряженной сферы радиуса $R$, имеет вид:

$E(r) = 0$, при $r < R$;

$E(r) = \frac{kq}{r^2}$, при $r > R$.

Примечание.

1) Очевидно, что для сферы, заряженной отрицательно, формулы остаются справедливыми, только векторы напряженности будут направлены в противоположные стороны (к центру сферы).

2) Если вместо заряда q задана поверхностная плотность заряда $\sigma$, то заряд будет равен $q = \sigma S = \sigma \cdot 4\pi R^2$, а напряженность

$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{1}{r^2}\sigma 4\pi R^2 = \frac{\sigma R^2}{\epsilon_0 r^2}$.

Поле, создаваемое таким шаром, будет центрально-симметричным. Легко понять, что вне шара для поля получится такой же результат, что и для поля вне сферы (см. задачу 2),

$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$.

Полный заряд шара

$q = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$.

Тогда

$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{4\pi R^3 \rho}{3r^2} = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}$

(при условии, что $r > R$).

Для нахождения поля внутри шара нужно применить теорему Гаусса к потоку напряженности через сферическую поверхность радиусом $r < R$ (рис.).

Поток вектора напряженности поля через поверхность этой сферы

$Ф = E \cdot 4\pi r^2$.

С другой стороны, по теореме Гаусса

$Ф = \frac{q^/}{\varepsilon_0}$,

где $q^/ = \rho \frac{4}{3}\pi r^3$

– заряд, заключенный в сфере радиуса $r$. Следовательно,

$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q^/}{\varepsilon_0}, E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q^/}{r^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{1}{r^2}\rho \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{\rho \cdot r}{3\varepsilon_0}$.

Таким образом, внутри равномерно заряженного шара напряженность поля растет линейно с расстоянием от его центра.

Функция, описывающая напряженность поля равномерно заряженного шара радиуса $R$, имеет вид:

$E(r) = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}r$, при $r \leq R$,

$E(r) = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0}\frac{1}{r^2}$, при $r > R$.

Примечание.

Если вместо объемной плотности заряда $\rho$ задан заряд $q$, то объемной плотности заряда будет равна

$\rho = \frac{q}{V} = \frac{q}{\frac{4}{3}\pi R^3}$,

а напряженность

$E(r) = \frac{r}{3\varepsilon_0}\frac{q}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R^3}\cdot r = k\frac{q}{R^3}\cdot r$, при $r \leq R$,

$E(r) = \frac{R^3}{3\varepsilon_0}\frac{1}{r^2}\frac{q}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0}\cdot \frac{1}{r^2} = k\frac{q}{r^2}$, при $r > R$,

Проще всего решить задачу с помощью теоремы Гаусса. Вычислим поток напряженности через цилиндр, ось которого совпадает с заряженной нитью (рис.).

Радиус цилиндра $r$, а его высота $l$.

Из соображений симметрии очевидно, что линии напряженности $\vec{E}$ перпендикулярны боковой поверхности цилиндра. Поэтому поток напряженности через боковую поверхность цилиндра равен

$Ф = ES = E\cdot 2\pi rl$,

поток через основания цилиндра равен нулю ($\alpha = \frac{\pi}{2}$).

С другой стороны, по теореме Гаусса

$Ф = \frac{q}{\varepsilon_0}$,

где $q = \tau \cdot l$ – заряд, заключенный внутри цилиндра. Следовательно,

$E \cdot 2\pi rl = \frac{l\tau}{\varepsilon_0}$,

$E = \frac{\tau}{2\pi \varepsilon_0 r} = \frac{2k\cdot \tau}{r}$.

Используя симметрию распределения заряда и теорему Гаусса, найдем напряженность электрического поля внутри и вне цилиндра. В качестве поверхности, через которую будем определять поток вектора $\vec{E}$, выберем цилиндр радиусом $r$ и высотой $h$, имеющий ту же ось симметрии, что и заданный цилиндр (рис.).

Во всех точках боковой поверхности цилиндра вектор $\vec{E}$ совпадает с внешней нормалью к этой поверхности и имеет одинаковую величину. Поток вектора $\vec{E}$ через боковую поверхность цилиндра

$Ф = E_1 \cdot S = E_1 \cdot 2\pi rh$,

поток через основания цилиндра равен нулю ($\alpha = \frac{\pi}{2}$).

Из теоремы Гаусса следует, что

$Ф = \frac{q}{\varepsilon_0}$,

где $q = \rho V = \rho \pi r^2h$ – заряд, заключенный внутри цилиндра.

Следовательно,

$E_1 \cdot 2\pi rh = \frac{\rho \pi r^2h}{\varepsilon_0}$, и $E_1 = \frac{\rho r}{2\varepsilon_0}$.

Чтобы найти $E_2$ для $r > R$, окружим заданный цилиндр цилиндрической поверхностью радиусом $r > R$ и высотой $h$, ось симметрии которой совпадает с осью цилиндра (см. рис.).

Во всех точках боковой поверхности цилиндра вектор $\vec{E}$ совпадает с внешней нормалью к этой поверхности и имеет одинаковую величину. Поток вектора $\vec{E}$ через боковую поверхность цилиндра

$Ф = E_2 \cdot S = E_2 \cdot 2\pi rh$,

поток через основания цилиндра равен нулю ($\alpha = \frac{\pi}{2}$).

Из теоремы Гаусса следует, что

$Ф = \frac{q}{\varepsilon_0}$,

где $q = \rho V = \rho \pi R^2h$ – заряд, заключенный внутри цилиндра. Следовательно,

$E_2 \cdot 2\pi rh = \frac{\rho \pi R^2h}{\varepsilon_0}$, и $E_2 = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0 r}$.

Предположим противное, то есть какой-либо из зарядов, для определенности положительный, находится в состоянии устойчивого равновесия. По определению устойчивого равновесия, при выведении заряда из этого положения в любом направлении на сколь угодно малую величину, возникает сила, направленная к положению равновесия.

Окружим заряд, замкнутой поверхностью, например, сферой, так, чтобы внутрь ее не попадали другие заряды (рис.).

Очевидно, что для устойчивости необходимо, чтобы поле, создаваемое всеми прочими зарядами кроме рассматриваемого, на поверхности сферы было направлено к положению равновесия (только в этом случае возникает сила, возвращающая заряд в положение равновесия). Отсюда находим, что поток вектора $\vec{E}$ через замкнутую поверхность отрицателен.

Но это противоречит теореме Гаусса, согласно которой данный поток, создаваемый зарядами вне сферы, равен нулю. Таким образом, теорема доказана.

Для определенности рассмотрим силу, действующую на верхнюю грань куба. Разобьем эту грань на малые площадки $\Delta S_i$ и представим силу, действующую на грань, как сумму $\vec{F_i}$ сил, действующих на каждую площадку $\Delta S_i$:

$\vec{F} = \sum \vec{F_i}$.

Обозначим через $\vec{E_i}$ напряженность электрического поля, создаваемого в области нахождения площадки $\Delta S_i$ зарядами всех граней, кроме самой верхней грани (рис.).

Тогда сила

$\vec{F_i} = q^/ \cdot \vec{E_i} = \sigma \cdot \Delta S_i \cdot \vec{E_i}$,

ее проекция на нормаль к грани $\vec{n}$ равна

$F_{in} = \sigma \cdot \Delta S_i \cdot E_i^/ \cdot cos\alpha_i$,

а суммарная сила, действующая на верхнюю грань вдоль нормали $\vec{n}$:

$F_n = \sum F_{in} = \sigma \cdot \sum{E_i^/ \Delta S_i \cdot cos\alpha_i} = \sigma \cdot Ф^/$, (1)

где $\sum{E_i^/ \Delta S_i \cdot cos\alpha_i} = Ф^/$ – поток вектора $\vec{E}$ через верхнюю грань куба, создаваемый зарядами всех других граней.

В качестве замкнутой поверхности для применения теоремы Гаусса выберем куб, размеры которого на бесконечно малую величину превышают размеры рассматриваемого куба, то есть их грани практически совпадают. Тогда поток через верхнюю грань куба внешнего куба равен

$Ф = Ф^/ + Ф^{//}$,

где

$Ф^{//} = E^{//} \cdot S_1 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \cdot S_1 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \cdot l^2$

поток, создаваемый заряженной верхней гранью куба.

Тогда

$Ф = Ф^/ + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \cdot l^2$, (2)

Воспользуемся теоремой Гаусса для всего куба

$Ф_0 = 6Ф = \frac{q}{\varepsilon_0}$,

где $q = \sigma \cdot 6l^2$ – заряд куба.

Тогда

$6Ф = \frac{6l^2 \cdot \sigma}{\varepsilon_0}$. (3)

Выразим $Ф^/$ из (2), а $Ф$ из (3)

$Ф^/ = Ф - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \cdot l^2 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \cdot l^2 - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \cdot l^2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \cdot l^2$.

Учитывая уравнение (1), окончательно находим:

$F_n = \frac{\sigma^2 \cdot l^2}{2\varepsilon_0}$.

По теореме Гаусса вычислим $Ф$ – поток вектора напряженности, создаваемой зарядом $Q$, через поверхность куба. Он равен $\frac{Q}{\varepsilon_0}$. С другой стороны

$Ф = 6 \cdot \displaystyle\sum_{\Delta S} \frac{Q}{r^2} \cdot \Delta S \cdot cos\alpha$.

В этом выражении $\Delta S$ – площадь малого элемента поверхности куба, $r$ – длина вектора, соединяющего заряд $Q$ с этим элементом, $\alpha$ – угол, который составляет этот вектор с нормалью к элементу $\Delta S$. Суммирование идет по одной из граней куба. Заметим, что сила $F$, действующая на грань куба, задается выражением:

$F = \sigma \cdot \displaystyle\sum_{\Delta S} \frac{Q}{r^2} \cdot \Delta S \cdot cos\alpha$

Следовательно,

$F = \sigma \cdot \frac{Ф}{6} = \frac{\sigma Q}{6\varepsilon_0}$.