Подготовка к олимпиаде. Применение теоремы Гаусса для вычисления напряженности электрического поля заряженных тел

Применение теоремы Гаусса для вычисления напряженности электрического поля заряженных тел

Рассмотрим применение теоремы Гаусса для вычисления напряженности электрического поля заряженных тел простой формы: плоскости, сферы, шара, нити, цилиндра

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Когда заряд распределен по какой-либо поверхности, то для расчета полей удобно ввести поверхностную плотность заряда $\sigma$. Выделим на плоской поверхности маленький участок площадью $\Delta S$. Пусть заряд этого участка равен $\Delta q$. Поверхностной плотностью заряда называют отношение заряда $\Delta q$ к площади поверхности, по которой он распределен

$\sigma = \frac{\Delta q}{\Delta S}$.

Эта плотность может непрерывно изменяться вдоль поверхности. Конечно, электрический заряд имеет дискретную (прерывную) структуру, так как сосредоточен в элементарных частицах. Но если на поверхности площадью $\Delta S$ содержится огромное число элементарных зарядов, то дискретную структуру заряда можно не принимать во внимание. Мы ведь пользуемся понятием плотности, считая, что масса непрерывно распределена в пространстве. А на самом деле все тела состоят из дискретных образований – атомов.

В случае равномерного распределения заряда $q$ по поверхности площадью $S$ поверхностная плотность заряда постоянна и равна $\sigma = \frac{q}{S} = const$.

Задача 1. Найдите напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью. Поверхностная плотность заряда $\sigma$.

2. Поле равномерно заряженной сферы

Задача 2. Найдите напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой радиуса $R$. Суммарный заряд сферы $q$.

3. Поле равномерно заряженного шара

Для характеристики распределения заряда по объему используется понятие объемной плотности заряда. Объемной плотностью заряда называется отношение заряда $\Delta q$ к объему $\Delta V$, в котором он распределен:

$\rho = \frac{\Delta q}{\Delta V}$.

Эта плотность может непрерывно изменяться внутри заряженного тела. Если заряд $q$ равномерно распределен по объему $V$, то объемная плотность заряда постоянна и равна:

$\rho = \frac{q}{V} = const$.

Задача 3. Вычислить напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженным шаром радиуса $R$. Объемная плотность заряда $\rho$.

4. Поле равномерно заряженной нити

Для характеристики распределения заряда по длине используется понятие линейная плотности заряда. Линейной плотностью заряда называется отношение заряда $\Delta q$ к длине $\Delta l$, в которой он распределен:

$\tau = \frac{\Delta q}{\Delta l}$.

Эта плотность может непрерывно изменяться внутри заряженного тела. Если заряд $q$ равномерно распределен по длине $l$, то линейная плотность заряда постоянна и равна:

$\tau = \frac{q}{l} = const$.

Задача 4. Найдите напряженность электрического поля, создаваемого в вакууме бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью заряда t.

5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра

Задача 5. Бесконечно длинный круговой цилиндр радиусом $R$ равномерно заряжен по объему с плотностью $\rho$. Найти напряженность электростатического поля в точке, удаленной на расстояние $r$ от оси цилиндра.

6. Дополнительные задачи

Задача 6. Докажите, что система свободных зарядов не может находиться в состоянии устойчивого равновесия. (Теорема Иршноу.)

Задача 7. С какой силой расталкиваются равномерно заряженные грани куба? Поверхностная плотность заряда $\sigma$, длина ребра куба $l$.

Задача 8. Грани куба с ребром $a$ однородно заряжены с поверхностной плотностью $\sigma$. В центр куба помещен заряд $Q$. С какой силой этот заряд взаимодействует с каждой из граней?