Подготовка к олимпиаде. Теорема Гаусса и другие подходы к решению электростатических задач

Теорема Гаусса и другие подходы к решению электростатических задач

Показано применение теоремы Гаусса для вычисления напряженности некоторых электрических полей и другие методы решения.

Напряженность электрического поля является силовой характеристикой поля и играет важную роль в электростатике. Определение напряженности

$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}$

не дает возможности найти $E$, если заряды не являются точечными.

Решение этой проблемы наметилось после того, как М. В. Остроградский установил излагаемую ниже теорему в качестве общей математической теории, а Гаусс изложил ее в применении к электростатике. Кроме того, Гаусс показал, что теорема следует из закона Кулона.

Теорема Остроградского – Гаусса основана на следующем математическом определении. Потоком вектора $\vec{a}$ через площадку $S$ называется величина (рис.)

$N_a = aS \cdot cos\alpha$,

где $\vec{n}$ – нормаль к поверхности $S$.

Для простоты изложения сути теоремы рассмотрим $Q$, находящийся в центре сферы радиуса $R$ (рис.).

Напряженность поля заряда $Q$ на расстоянии $R$ от него численная равна

$E = k\frac{Q}{R^2}$.

Найдем поток $N_E$ вектора $\vec{E}$ через поверхность сферы:

$N_E = Escos\alpha$.

Образ $N_E$ – сноп силовых линий.

Очевидно, что $cos\alpha = 1$, так как вектор $\vec{E}$ сонаправлен с $\vec{n}$ для любого элемента площади сферы.

$N_E = k\frac{Q}{R^2}4\pi R^2 = k4\pi Q = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}4\pi Q = \frac{Q}{\varepsilon_0}$.

Заметим, что лишь здесь становится понятен выбор $k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}$. Действительно, $N_E$ приобретает лаконичный вид:

$N_E = \frac{Q}{\varepsilon_0}$.

Пусть

$Q = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} q_i$,

тогда

$N_E = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} q_i}{\varepsilon_0}$.

Суть метода Гаусса состоит в следующем: заряды $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} q_i$ окружают замкнутой поверхностью $S$ и находят $N_E$:

1. $N_E = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} q_i}{\varepsilon_0}$ – на основании теоремы Гаусса.

2. $N_E = Escos\alpha$ – по определению.

Следовательно, $E = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} q_i}{\varepsilon_0Scos\alpha}$.

Рассмотрим применение теоремы.

Задача 1. Найти напряженность поля равномерно заряженной плоскости. Поверхностная плотность зарядов $\sigma$ (рис.).

Задача 2. Найти напряженность поля внутри и вне плоского конденсатора (рис.).

Задача 3. Найти напряженность поля прямой бесконечной нити, равномерно заряженной с линейной плотностью заряда $\gamma$, на расстоянии $r$ от нити.

Задача 4. Сфера радиуса $R$ имеет заряд $Q$. Найти зависимость $E(r)$ и $\varphi (r)$ и построить графики.

Задача 5. Шар радиуса $R$ равномерно заряжен по всему объему. Заряд шара $Q$. Построить графики зависимости $E(r)$ и $\varphi(r)$. Диэлектрическая проницаемость шара $\varphi$.

Задача 6. Вывести формулу для емкости плоского конденсатора.

Задача 7. На одной из пластин плоского конденсатора емкости $C$ находится заряд $q$, а на другой $4q$. Определить разность потенциалов между пластинками конденсатора.

Пример 8. Заряд $q$ находится на расстоянии $r$ от центра заземленной проводящей сферы радиус ($r > R$). Определить величину индуцированного на сфере заряда.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 9. Три концентрические сферы радиусов $r, 2r, 3r$ имеют заряды $q, 2q, -3q$. Найти зависимость $E(r)$ и $\varphi (r)$.

Задача 10. Определить напряженность поля внутри и вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра. Объемная плотность заряда r, радиус цилиндра $R$.

Задача 11. Чему равна напряженность поля системы трех параллельных бесконечных плоскостей с поверхностными плотностями зарядов $\sigma, -2\sigma, \sigma$?

Задача 12. Незаряженный металлический шар радиуса r окружают концентрической сферической оболочкой радиуса $R$ с потенциалом $\varphi$. Чему станет равен потенциал оболочки, если шар заземлить?

Задача 13. Сферический конденсатор – две концентрические сферы радиусов $r$ и $R$, несущие заряды $q$ и $-q$. Найти его емкость.