Подготовка к олимпиаде. Законы сохранения

Законы сохранения энергии

Законы сохранения играют исключительно важную роль в процессе познания физических форм движения материи. В них полагается, что существуют величины, которые обладают замечательным свойством – не меняться во времени. Законы отражают важнейший диалектико-материалистический принцип неуничтожимости материи и ее движения, взаимосвязь и взаимопревращаемость форм движения.

В известной мере является критерием истины, законы сохранения обладают функцией запрета, то есть непротиворечивость этим законам является убедительным аргументом в пользу в пользу их истинности, а несоответствие – безоговорочно отвергает решение любой задачи. В отличие от других приемов и методов решения законы сохранения дают возможность получать конечный результат, не вдаваясь в рассмотрение подробного механизма протекания процесса (явления), когда неизвестны другие данные. В основе метода лежит использование сохранения для замкнутых систем массы системы, электрического заряда, импульсов, моментов импульсов, и, наконец, сохранение полной энергии системы. Природа разнообразна в своих свойствах и проявлениях, но замечательно, что существуют в определенных условиях законы сохранения каких-то физических величин. Ими мы и предлагаем воспользоваться.

Задача 1. Два одинаковых тела участвуют в упругом соударении. Первое тело покоится, а второе имеет скорость $\vec{v}$. Найти скорость второго тела по отношению к первому (рис.).

Задача 2. При каких углах бросания $\alpha$ существует точка траектории, в которой кинетическая энергия тела в три раза больше его потенциальной относительно уровня Земли?

Задача 3. Два бруска с массами $m_1$ и $m_2$ соединены недеформированной легкой пружиной. Бруски лежат на горизонтальной плоскости и $\mu$ коэффициент трения между брусками и плоскостью. Какую минимальную горизонтальную силу $F$ следует приложить к бруску $m_1$, чтобы другой брусок сдвинулся с места? (рис.)

Задача 4. Космический корабль находится на расстоянии $2 \cdot 10^7$ м от поверхности Земли и в системе координат, связанных с Землей, имеет скорость $6 \cdot10^3$ м/с, направленную по радиусу от центра Земли. Двигатели корабля не работают. Упадет ли корабль на Землю или улетит в космическое пространство? Влиянием других тел, кроме Земли, пренебречь.

Задача 5. На нити длиной $2h$ висит тело малых размеров. Его вместе с нитью отклоняют так, что нить горизонтальна. На какую максимальную высоту поднимется тело, если на пути движения нити посередине расположен гвоздь на одной вертикали с точкой подвеса? Потерями энергии пренебречь. (рис.)

Задача 6. В закрепленном на столе цилиндре под поршнем находится одна «молекула» – шарик массой $m$. Вначале поршень массой $M$ неподвижен, а скорость молекулы направлена перпендикулярно ему. Какую скорость будет иметь поршень через достаточно большое время? Трение и силу тяжести не учитывать. Считать все удары абсолютно упругими и что по обе стороны поршня вакуум ($M \geq m$) (рис.).

Задача 7. Шар массой $m_1 = 1$ кг налетает со скоростью $v = 3$ м/с на неподвижный шар массой $m_2 = 0,5$ кг (рис. а). Удар центральный. Зависимость силы взаимодействия шаров от времени приблизительно представлена на графике (рис. б). Определите энергию перешедшую в тепло при ударе.

Задача 8. Два тела одинаковых масс участвуют в упругом соударении. Начальные скорости тел $v_1$ и $v_2$ направлены под углом $\alpha$ друг к другу. Под каким углом $\beta$ тела разлетаются, если их скорости стали $u_1$ и $u_2$ соответственно (рис.)?

Задача 9. Вывести закон Паскаля для гидравлического пресса, используя законы сохранения энергии и массы.

Задача 10. Два одинаковых стальных бруска длиной $l = 0,1$ м сталкиваются торцами. Оценить время соударения брусков. При каких скоростях брусков возникнут неупругие явления, если предельное давление стали $2 \cdot 10^8$ Па? Плотность стали и модуль Юнга соответственно равны: $7,8 \cdot 10^3$ кг/м3, $2 \cdot 10^{11}$ Па.

Задача 11. Какое максимальное количество капель ртути, лежащих на гладкой горизонтальной поверхности, могут слиться в одну большую каплю?

Задача 12. При падении с большой высоты капля испаряется постепенно. С какой высоты (где было облако) падал дождь, если к поверхности он испарился? (Оценить) (рис.)

Задача 13. Найти зависимость между давлением и объемом одного моля одноатомного идеального газа в адиабатном процессе.

Задача 14. Проводник емкостью $C_1$, заряженный до потенциала $\varphi_1$, соединяют с проводником емкостью $C_2$ и потенциалом $\varphi_2$ тонким длинным проводником бесконечно малого сопротивления. Найти изменение энергии системы.

Задача 15. К батарее с ЭДС $\mathscr{E}$ подключен последовательно с некоторым сопротивлением плоский конденсатор емкости $C$. Пластины конденсатора быстро сближают, так что расстояние между ними уменьшается вдвое. Предполагая, что за время перемещения пластин заряд конденсатора практически не изменился, найти количество теплоты $Q$, выделившейся на сопротивлении к моменту окончания перезарядки (рис.).

Задача 16. Какая энергия выделится в виде тепла (рис. а) при замыкании ключа $K$? Характеристика диода приведена на рисунке б. Какая энергия рассеется на диоде? Чему равна работа батареи?

Задача 17. Для исследования элемента солнечной батареи собрана схема (рис. а). Получена зависимость напряжения элемента от силы тока при постоянной освещенности элемента (рис. б). Оценить какую максимальную мощность можно отобрать от этого элемента при данной освещенности и при какой нагрузке.

Задача 18. Как связаны кинетическая энергия электрона, вращающегося вокруг ядра атома водорода, с его потенциальной энергией (рис.).

Задача 19. Атом водорода излучает фотон частотой $\nu$. Найти изменение длины волны фотона вследствие передачи энергии атому при отдаче.

Задача 20. Пружину жесткостью $500$ Н/м сжали на $2$ см. Как изменилась масса пружины?

Задача 21. Реакцию синтеза тяжелого и сверхтяжелого изотопов водорода

$H^2 + H^3 \to n + He^4$

изучают, направляя ускоренные до энергии $2$ МэВ ионы дейтерия на тритиевую мишень. Детектор регистрирует нейтроны, вылетающие перпендикулярно к направлению луча дейтронов. Определить энергию регистрируемых нейтронов, если в реакции выделяется энергия $Q = 14$ МэВ.

Задача 22. Два упругих шарика подвешены на тонких нитях рядом так, что они находятся на одной высоте и соприкасаются. Нити подвеса разной длины $l_1 = 10$ см и $l_2 = 6$ см. Массы шариков $m_1 = 8$ г $m_2 = 20$ г соответственно. Шарик массой $m_1$ отклоняют на угол $\alpha = 60^0$ и отпускают. Определить максимальное отклонение шариков от вертикали после удара. Удар упругий.

Задачи для самостоятельной работы.

Задача 23. Абсолютно упругий шарик, подвешенный на нити длиной $l$, отклоняют на угол $\alpha$ и отпускают. В нижней точке он сталкивается с таким же шариком, висящим на нити длиной $R$. При каком минимальном значении угла $\alpha$ второй шарик будет двигаться по окружности радиуса $R$, вплоть до верхней точки.

Задача 24. Гладкий клин массы $M$ может скользить по горизонтальной плоскости. На его грань, образующую угол $\alpha$ с горизонтом, положен гладкий брусок массы m. Найти ускорение клина. Трением пренебречь.

Задача 25. Два бруска массой $m$ каждый, лежащие на горизонтальной поверхности, соединены не деформированной пружиной жесткостью $k$. Коэффициент трения между бруском и поверхностью $\mu$. Какую скорость надо сообщить одному из брусков вдоль пружины, чтобы он, растянув пружину, смог сдвинуть второй брусок?

Задача 26. Движущийся снаряд разорвался на два осколка, которые разлетелись под углом $\alpha = 60^0$. Один осколок имеет массу $m_1 = 20$ кг и скорость $v_1 = 100$ м/с, другой массу $m_2 = 80$ кг и скорость $v_2 = 25$ м/с. Чему равна энергия, выделившаяся при разрыве снаряда?

Задача 27. Пуля массой $m$, летящая горизонтально со скоростью v, застревает в бруске массой $M$. Брусок лежит на гладкой плоскости и соединен с вертикальной стенкой пружиной жесткостью $k$. Найдите наибольшую деформацию пружины.

Задача 28. На горизонтальной плоскости лежит тело массой $m$, соединенной с вертикальной стеной легкой пружиной жесткостью $k$. В начальный момент пружина не деформирована. На тело начинает действовать постоянная сила $F$. Считая, что коэффициент трения между телом и плоскостью $\mu$ и что $F > \mu mg$, найдите максимальное смещение тела от начального положения и максимальную скорость тела в процессе движения.

Задача 29. При разгоне ракеты масса ее уменьшается. При какой скорости ракеты будет максимальной ее кинетическая энергия, если расход топлива постоянен? Скорость газов относительно ракеты $v_0$, начальная скорость ракеты равна нулю. Разгон производится далеко от Земли, так что влиянием силы тяжести можно пренебречь.