Подготовка к олимпиаде. Катушки

Катушки.

Рассмотрите решение задач

Задача 1. Катушка, внешний радиус которой равен $R$, а внутренний — $r$, находится на горизонтальной поверхности. На неё намотана нерастяжимая нить, конец которой потянули со скоростью $v$ в направлении, составляющем угол $\alpha$ с поверхностью. В какую сторону и с какой скоростью покатится катушка, если она не будет скользить по поверхности, и нить будет сматываться с нижней части внутренней поверхности катушки без проскальзывания?

Решение.

Решим эту задачу с использованием понятия мгновенного центра вращения. Для этого нам нужно изучить распределение скоростей в катушке в данный момент времени. Мгновенный центр вращения — это точка соприкосновения катушки, которая катится без проскальзывания, с поверхностью. Обозначим т. $C$ мгновенный центр вращения в данный момент времени.

Проведем из центра катушки перпендикуляр к нити т. $A$. Нить не скользит по внутренней окружности, т. $A$ точка внутреннего радиуса окружности и одновременно точка касания нити.

Продолжим прямую проходящую через нить в направлении плоскости, точку пересечения с плоскостью обозначим $F$. Ось $x$ направим вдоль нити.

По условию задачи нить нерастяжима, следовательно, проекция скоростей любых точек нити на ось $x$ равны друг другу и равны $v$. В частности, проекция скорости т. $A$ также равна $v$.

Если мы мысленно продолжаем прямую по катушке, с учетом того что катушка твердое тело, то любая точка на этой прямой также будет иметь скорость $v$.

Опустим из мгновенного центра вращения т. $C$ перпендикуляр $CD$ на прямую нити.

Проекция скорости т. $D$ на ось $x$ равна $v$, направлена вдоль этой прямой, перпендикулярно $DC$, угловая скорость вращения

$\omega = \frac{v}{|CD|}$.

Найдем $|CD|$. Для этого из т. $C$ опустим перпендикуляр на прямую проходящую через $OA$, точку пересечения обозначим $K$.

Тогда

$|CD| = |AK| = |OK| - |OA| = Rcos\alpha - r$.

Следовательно,

$\omega = \frac{v}{Rcos\alpha - r}$

С другой стороны, скорость т. $O$ есть

$v_0 = \omega R = \frac{Rv}{Rcos\alpha - r}$. (1)

Это есть первый из возможных ответов, в случае если катушка катится вправо, следом за нитью.

Обратим внимание на то, что прямая походящая по нити проходит за точкой опоры слева. Катушка катится по часовой стрелке за нитью.

Рассмотрим другой случай. Пусть нить уходит более круто вверх. И если мы продлим нить до пересечения с плоскостью, по которой катится катушка, то точка пересечения лежит правее точки $C$ соприкосновения катушки и плоскости.

Проведем аналогичные построения. Из т. $O$ проведем перпендикуляр к нити т. $A$ с которой сматывается нить. Из точки $C$ опустим перпендикуляр на нить, получаем т. $D$.

Скорость точки $D$ ориентирована вдоль прямой $x$ и равна $v$. Угловая скорость вращения катушки равна $\omega = \frac{v}{|CD|}$. Причем, катушка вращается против часовой стрелки и поедет назад от нити, понятно, что при условии отсутствия проскальзывания.

$|CD| = |AK| = |OA| - |OK| = r – Rcos\alpha$ и $\omega = \frac{v}{r – Rcos\alpha}$.

Скорость центра катушки

$v_0 = \omega R = \frac{vR}{r – Rcos\alpha}$. (2)

Сравним два результата (1) и (2)

Можно объединить два ответа вместе и записать

$v_0 = \frac{Rv}{|Rcos\alpha - r|}$.

Или записать ответ в более информативном виде:

$v_0 = \frac{R}{Rcos\alpha - r} \cdot v, cos\alpha > \frac{r}{R}$

$v_0 = \frac{R}{r - Rcos\alpha} \cdot v, cos\alpha < \frac{r}{R}$

Ответ записывается по-разному, указывая на направление движения катушки. В первом случае – катушка вращается по часовой стрелке и движется за нитью вправо, а во втором случае катушка вращается против часовой стрелки и движется влево от нити.

А что будет если угол $\alpha$ равен критическому углу при котором из $cos\alpha_{кр} = \frac{r}{R}$, и $\alpha_{кр} = arccos\frac{r}{R}$?

В этом случае продолжение нити попадает точно в мгновенный центр вращения т. $C$. Как видно, что формальный ответ катушка покатится бесконечно быстро. Но мы также понимаем, что нельзя конечной силой разогнать катушку (массой $m$) до сколь угодно большой скорости. Очевидно, что данная ситуация физически нереализуема. Если мы потянем нить под критическим углом $\alpha_{кр}$, то нить начнет проскальзывать. Вспомним, что в задаче наложен запрет на отсутствие проскальзывания катушки.

Задача 2. Катушка с намотанной на ней нитью лежит на горизонтальном столе и может катиться по нему без скольжения. Внутренний радиус катушки равен $r$, внешний $R$. С какой скоростью $u$ будет перемещаться ось катушки, если конец нити тянуть в горизонтальном направлении со скоростью $v$? Рассмотреть два случая (см. рис.).

Решение 1.

В обоих случаях скорость $v$ совпадает со скоростью той точки (т. $A$) катушки, где начинается прямолинейный участок нити. Для определения скорости $u$ оси катушки воспользуемся понятием мгновенного центра вращения (т. $C$).

Очевидно, для 1-го случая

Угловая скорость вращения т. $A$, относительно мгновенного центра вращения т. $C$ равна

$\omega = \frac{v}{|AC|}$, где $|AC| = R - r$, тогда $\omega = \frac{v}{R - r}$.

Для оси катушки

$u = \omega \cdot R = \frac{v}{R - r} \cdot R = \frac{R}{R - r} \cdot v$.

Катушка движется в ту же сторону, в которую тянут нить, причем нить наматывается на катушку, здесь $u > v$.

Для 2-го случая.

Угловая скорость вращения т. $A$, относительно мгновенного центра вращения т. $C$ равна

$\omega = \frac{v}{|AC|}$, где $|AC| = R + r$, тогда $\omega = \frac{v}{R + r}$.

Для оси катушки

$u = \omega \cdot R = \frac{v}{R + r} \cdot R = \frac{R}{R + r} \cdot v$.

Катушка движется в ту же сторону, в которую тянут нить, причем нить сматывается с катушки, здесь $u < v$.

В случае $1$ очень часто предсказывают движение катушки в противоположном направлении, ссылаясь при этом на собственный опыт. Как ни странно, сделанный при решении задачи вывод действительно может не подтвердиться при проведении опыта. Дело в том, что если конец нити потянуть достаточно «резко», то проскальзывания катушки избежать трудно. Однако, в задаче оговорено отсутствие скольжения.

Рассмотрим второй способ решения.

1) Скорость любой точки катушки складывается (векторно) из скорости поступательного движения катушки $u$ и скорости вращения, равной произведению угловой скорости $\omega$ катушки на расстояние точки от оси катушки (см. рисунок). Воспользуемся тем, что нам известны скорости точек $A$ и $C$:

$v_A = u - \omega \cdot r = v$, $v_C = u - \omega \cdot R = 0$.

Отсюда

$u - \frac{u}{R} \cdot r = v$, $u = \frac{R}{R - r} \cdot v$.

2) Аналогично скорость любой точки катушки складывается (векторно) из скорости поступательного движения катушки $u$ и скорости вращения, равной произведению угловой скорости $\omega$ катушки на расстояние точки от оси катушки (см. рисунок). Запишем выражения для скоростей точек $A$ и $C$:

$v_A = u + \omega \cdot r = v$, $v_C = u - \omega \cdot R = 0$.

Отсюда

$u + \frac{u}{R} \cdot r = v$, $u = \frac{R}{R + r} \cdot v$.

Задача 3. Определить скорость оси катушки в условии задачи 2, если нить составляет угол $\alpha$ с горизонтом. Предложите другой способ решения, отличный от решения задачи 1. Можно ли доказать, не определяя скорость оси катушки, что при некотором значении $\alpha_{кр}$ угла $\alpha$ качение без проскальзывания невозможно, найдите это значение.

Задача 4. Катушку с нитками тянут за нитку с постоянной скоростью $v$, как показано на рисунке. Катушка катится без проскальзывания. Определите угловую скорость вращения катушки.

Задача 5. Колесо с ребордой. По рельсам катится с постоянной скоростью вагонетка. Радиус её колеса равен $r$, а радиус реборды (бортика, выступающего за обод колеса и предохраняющего колесо от схода с рельса) существенно больше. В некоторый момент времени скорости двух диаметрально противоположных точек $A$ и $B$ обода равны по модулю $v_A$ и $v_B$ соответственно (рис.).

1. С какой скоростью $v_0$ катится колесо?

2. В тот же момент времени скорость некоторой точки $C$, находящейся на реборде, направлена вертикально и равна $v_C$. Однозначно ли определяется положение этой точки?

3. Чему равна проекция ускорения $a_{Cy}$ этой точки на вертикальную координатную ось?

Задача 6. У стенки, прижимаясь к ней, лежит катушка массы $m$, радиуса $2R$, на внутренний цилиндр которой намотана нить (рис.). За нить тянут вертикально вниз. При каком значении силы натяжения нити $F$ катушка начнет вращаться? Коэффициенты трения о пол и стенку одинаковы и равны $k$, радиус внутреннего цилиндра равен $R$.