Подготовка к олимпиаде. Движения со связями

Движения со связями

Рассмотрите решение задач.

Задача 1. Палочка движется по плоскости. В некоторый момент скорость одного конца палочки направлена вдоль палочки и равна $25$ см/с, а скорость второго конца направлена под углом $60^0$; к линии палочки. Чему равна в этот момент скорость (в см/с) второго конца?

Решение.

Палочка движется по плоскости. Скорость одного конца палочки имеет известное значение и направление. Хотя с направлением возможны варианты (их два). Приступим к рисунку задачи. Изобразим палочку (вид сверху) и выберем направление вектора скорости одного конца палочки (вдоль палочки), пусть это будет точка A (рис. 1).

Теперь перейдем ко второму концу палочки. Известно, что вектор скорости второго конца палочки направлен под углом $60^0$; к линии палочки. Будем рассуждать логически. Палочка твердое тело и при движении все точки палочки в направлении палочки должны иметь одинаковые скорости. В противном случае палочка будет деформироваться. Тогда направление вектора скорости второго конца предопределено (рис. 2).

Тогда решение задачи очевидно

$v_Bcos\alpha = v_A$,

откуда

$v_B = \frac{v_A}{cos\alpha} = \frac{25}{cos60^0} = 50 \frac{см}{c}$.

Замечание 1. В задачах со связями необходимо учитывать, что палочка, нить, фигура и т. д. являются твердыми, жесткими, нерастяжимыми и недеформируемыми.

Замечание 2. Решим данную задачу используя метод мгновенной оси вращения. Если посмотреть на рисунок 2, то видно, что палочка кроме поступательного движения вдоль палочки еще и вращается (можно определить мгновенную ось вращения). Проведем перпендикуляры к векторам скоростей концов палочки (вектор скорости перпендикулярен радиусу). Точка пересечения этих перпендикуляров и даст нам мгновенный центр вращения т. О (рис. 3).

Палочка, в данный момент, вращается относительно т. О с угловой скоростью равной

$\omega = \frac{v_A}{r} = \frac{v_B}{R}$.

Откуда

$v_B = \frac{R}{r}v_A = \frac{v_A}{sin\alpha} = \frac{v_A}{cos\beta} = \frac{25}{cos60^0} = 50 \frac{см}{c}$.

 

Задача 2. Пластинка в виде равностороннего треугольника $ABC$ движется по плоскости. В некоторый момент скорость точки $A$ направлена параллельно $AC$, а скорость точки $B$ направлена параллельно $BC$ и равна $15$ см/с. Чему равна в этом момент скорость (в см/с) точки $C$?

Решение.

1 способ. Так пластинка жесткая, то проекция скоростей вершин на направление сторон должны быть равны друг другу (рис. 4):

 $v_Acos60^0 = v_Bcos60^0$,

откуда

$v_A = v_B$,

$v_B = v_Ccos\alpha, v_A = v_B = v_Ccos\alpha = v_Ccos(120^0 – \alpha)$.

Последнее уравнение перепишем в виде:

$cos\alpha = cos120^0cos\alpha + sin120^0sin\alpha$.

Решаем это простое тригонометрическое уравнение и находим $\alpha = 60^0$.

Тогда из уравнения

$v_B = v_Ccos\alpha$,

находим

$v_C = \frac{v_B}{cos\alpha}$.

После подстановки

$v_C = \frac{v_B}{cos60^0} = 2v_B = 30 \frac{см}{c}$.

2-й способ. Воспользуемся методом мгновенной оси вращения пластинки (рис. 5).

Для этого проведем радиусы кривизны к векторам скоростей точек $A$ и $B$. Точка пересечения двух радиусов дает точку мгновенной оси вращения. Точка $C$ в этот момент тоже вращается относительно этой точки вращения, ее скорость перпендикулярно радиусу, проведенному из точки $C$ к этому центру.

Тогда справедливо следующее утверждение (треугольник жесткая система)

$\frac{v_B}{r} = \frac{v_C}{R}$.

Радиус кривизны точки $C$ в этот момент найдем из следующих соображений

$R = \frac{r}{sin\beta}$.

Угол $\beta$, очевидно, равен $30^0$ так как радиус $R$ является биссектрисой угла равностороннего треугольника.

Окончательно,

$\frac{v_B}{r} = \frac{v_Csin\alpha}{r}$.

Откуда

$v_C = \frac{v_B}{sin30^0} = 2v_B = 30 \frac{см}{c}$.

 

Замечание. Доказать, что угол $\alpha$ равен $60^0$ можно проще. Проекция вектора скорости т. $C$ на сторону треугольника $AC$ равна $v_Ccos\gamma = v_A$, а проекция на сторону $BC$ равна $v_Ccos\alpha = v_B$ (см. рис.). Так как

$v_A = v_B$, то $cos\alpha = cos\gamma$,

и, следовательно, $\alpha = \gamma$. На угол $\alpha$ и $\gamma$ приходится $120^0$, следовательно, $\alpha = \gamma = 60^0$.

Для закрепления вопроса решите задачи из темы движение со связями.


Если заметили неточность, ошибку, есть замечания, предложения, то пишите сюда