Подготовка к олимпиаде. Выбор системы отсчета

Выбор системы отсчета.

На примерах решения задач показано, как удачный выбор системы отсчета (инерциальной, неинерциальной, СОЦМ, ЛСО) дает возможность существенно упростить решение задачи.

Для описания всевозможных явлений природы необходимо выбирать систему отсчета, зависящую от цели исследования.

В механике под системой отсчета понимают реальное тело, условно принимаемое за неподвижное, связанную с ним систему координат (особенно употребительна прямоугольная – декартова) и набор синхронных часов.

В кинематике все системы отсчета равноправны, так как нас не интересует, какие силы обеспечивают данные параметры движения.

В задачах динамики преимущественную роль играют, как правило, инерциальные системы отсчета, по отношению к которым уравнения движения имеют наиболее простой вид.

За многовековую историю физики человечество выработало не так уж много различных систем отсчета. Еще древнегреческий ученый Клавдий Птолемей (II в, н. э.) в трактате «Великое математическое построение астрономии», разрабатывая идеи Аристотеля и Гиппарха, связал систему отсчета с Землей (геоцентрическая система мира). Движения планет в ней выглядели столь сложно, что в течение многих веков астрономам не удавалось найти их общие законы. И лишь замена выдающимся польским астрономом Николаем Коперником (1473 – 1543) геоцентрической системы отсчета на гелиоцентрическую, связанную с Солнцем, радикально упростила описание движения планет, что дало возможность в самом общем виде сформулировать законы их движения.

Ныне за эталон в физике принята инерциальная система, в которой изотропно (от «изос» – одинаковый и «тропос» – направление) реликтовое излучение (от «реликт» – остаток).

Нельзя однозначно утверждать, что в будущем не появятся другие эталоны, которые могут и не быть инерциальными. Удобно также использовать иногда и другие системы, руководствуясь принципом целесообразности, который можно легче понять на конкретных примерах.

Задача 1. Из двух портов, расстояние между которыми $l$, одновременно выходят два катера со скоростями $v_1$ и $v_2$, направленными соответственно под углами $\alpha$ и $\beta$ к прямой соединяющей порты. Каково минимальное расстояние между ними?

В некоторых задачах удобно использовать неподвижную систему отсчета, называемую лабораторной (ЛСО), в иных – систему отсчета, связанную с центром масс (СОЦМ).

Задача 2. Рассмотрите упругий удар в системе центра масс.

Задача 3. С поверхности Земли бросили вертикально вверх кусочек пластилина со скоростью $v_0$. Одновременно такой же кусочек пластилина начал падать без начальной скорости с высоты $H$. При столкновении кусочки слиплись. Через какое время после начала бросания и с какой скоростью слипшийся комок упадет на Землю?

Задача 4. Два электрона находятся на бесконечно большом расстоянии один от другого, причем один покоится, другой имеет скорость $v$, направленную к первому. На какое наименьшее расстояние они сблизятся?

Для решения задач на столкновение двух падающих тел систему отсчета выбирают по методу «падающего лифта». Представим себе, что мы находимся в свободно падающем лифте. Тогда все тела, брошенные нами внутри этого лифта, будут двигаться прямолинейно и равномерно.

Задача 5. Тело A бросают вертикально вверх со скоростью vA. На какой высоте H находится тело Б, которое, будучи брошенным с горизонтальной скоростью vБ одновременно с телом A, столкнулось с ним в полете? Расстояние по горизонтали между исходными положениями тел равно l. Найти также время движения тел до столкновения.

До сих пор мы не объясняли правомерность произвольного выбора системы отсчета, полагаясь на интуицию. Покажем, что физический закон в векторной форме не зависит от выбора системы координат.

Рассмотрим вектор $\vec{a}$, который в декартовых прямоугольных координатах запишется как

$\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$.

При переходе к любой другой декартовой системе координат $\vec{a}$ сохраняется, поскольку это диагональ параллелепипеда. Говорят, что вектор $\vec{a}$ инвариантен по отношению к переносу начала и повороту координатных осей.

Рассмотрим выражение $\vec{a} = \vec{b}$. Оно означает, что $a_x = b_x; a_y = b_y; a_z = b_z$.

И в новой системе координат эти равенства выполняются, т. е. векторное равенство инвариантно по отношению к переносу начала и повороту координатных осей. Таким образом, физический закон, записанный в векторной форме, не зависит от выбора осей координат, связанного с требованием рационального решения задачи.

Задача 6. Два тела, находившихся первоначально на расстоянии l друг от друга, на гладкой наклонной плоскости начали движение навстречу друг другу со скоростями v0. Угол наклона плоскости $\alpha$. Найти время, пройденное до столкновения.

Чтобы решить следующую задачу, выбираем вращающуюся систему отсчета.

Задача 7. Четыре черепахи находятся в углах квадрата. Первая ползет по направлению ко второй, вторая к третьей, третья к четвертой, четвертая к первой. Найти время движения черепах до столкновения. Известна сторона квадрата – $a$ и скорость черепах – $v$.

Решение одной и той же задачи в различных системах отсчета способствует более глубокому усвоению сути происходящих процессов и, в конечном счете, помогает выбору рационального решения.

Задача 8. Плот и моторная лодка одновременно начинают движение из пункта A. Лодка проходит путь AB = S1 за время t и возвращается обратно. На расстоянии BC = S2 лодка встречает плот. Найти скорость течения и собственную скорость лодки.

Задача 9. С подводной лодки, погружающейся равномерно, испускаются звуковые импульсы длительностью 30,1 c. Длительность импульса, принятого на лодке после его отражения от дна, равна 29,9 c. Определите скорость погружения лодки. Скорость звука в воде 1500 м/с.

Задача 10. МГУ. Пловец переплывает реку шириной L по прямой, перпендикулярной берегу, и возвращается обратно, затратив на весь путь время t1 = 4 мин. Проплывая такое же расстояние L вдоль берега реки и возвращаясь обратно, пловец затрачивает время t2 = 5 мин. Во сколько раз $\alpha$ скорость пловца относительно воды превышает скорость течения реки?

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 11. Колонна бегунов имеет скорость $v$ и длину $l$. Навстречу бегунам бежит тренер со скоростью $u$ ($u < v$). Поравнявшись с тренером, каждый бегун поворачивает в противоположном направлении и бежит со скоростью $v$. Какова будет длина колонны, когда тренер поравняется с последним бегуном? Решить задачу в системе отсчета: а) «тренер», б) «колонна», в) «земля».

Задача 12. Под каким углом к нормали к плоскости будет двигаться шарик после упругого соударения с движущейся наклонной плоскостью.

Задача 13. Дельфин плывет под водой с постоянной горизонтально направленной скоростью $v_0$ и издает серию коротких ультразвуковых импульсов, временной интервал между которыми $\tau_0$. Эти импульсы отражаются от вертикальной скалы и возвращаются к дельфину. С каким интервалом будет слышать дельфин эти импульсы?

Задача 14. По двум пересекающимся под углом $\alpha = 30^0$ дорогам движутся к перекрёстку два автомобиля: один со скоростью $v_1$ = 10 м/с, второй – с $v_2$ = 17,3 м/с. Когда расстояние между автомобилями было минимальным, первый из них находился на расстоянии $S_1$ = 200 м от перекрёстка. На каком расстоянии $S_2$ от перекрёстка в это время находился второй автомобиль?