Подготовка к олимпиаде. Методы расчета резисторных схем постоянного тока. 1.4.2. Расчет эквивалентных сопротивлений плоскостных бесконечных цепей

          

Методы расчета резисторных схем постоянного тока

1.4.2. Расчет эквивалентных сопротивлений плоскостных бесконечных цепей

Рассмотрим несколько задач на расчет эквивалентных сопротивлений электрических цепей, представляющих собой бесконечную плоскую «сетку» резисторов с ячейками в виде треугольников, квадратов или других фигур. Для простоты сопротивления всех резисторов принимаются одинаковыми. Рассмотрим решение типичной задачи.

Задача 22. Найдите эквивалентное сопротивление между двумя соседними узлами А и В бесконечной проволочной сетки (рис.), если сопротивление каждого прямолинейного отрезка, соединяющего два ближайших узла сети, равно R.

Решение. Предположим, что имеется один электрод, с которого стекает ток I, и он приложен к точке А. Второй электрод представляет собой кольцо бесконечного радиуса, которое «накинуто» на эту сетку. По соображениям симметрии ток распределится на сети резисторов так, что к точке В будет подходить ток, равный $\frac{I}{4}$ (рис. а).

С другой стороны, если в точке В снимается ток, подводимый к схеме из бесконечности, то, очевидно, должна наблюдаться аналогичная картина. Это означает, что для электрода, «собирающего» ток I и приложенного к точке В, распределение токов будет таким же. Через ветвь АВ к точке В будет подходить ток $\frac{I}{4}$ (рис. б). Распределение токов для двух электродов является суммой распределения токов от отдельных электродов, следовательно, при подключении рассматриваемой сети к источнику в точках А и В через ветвь АВ будет протекать ток

$\frac{I}{4} +\frac{I}{4} = \frac{I}{2}$

Это означает, что напряжение между точками А и В будет равно

$U_{AB} = R\frac{I}{2}$.

Отсюда найдем искомое эквивалентное сопротивление

$R_x = \frac{U_{AB}}{I} = \frac{R}{2}$.

Задача 23. Найдите эквивалентное сопротивление между двумя соседними узлами А и В бесконечной проволочной сетки (рис.), если сопротивление прямолинейного проводника, соединяющего два ближайших узла сети, равно R.

Решение. Из соображений симметрии запишем (см. задачу 22): $\frac{I}{6} + \frac{I}{6} = \frac{I}{3}$. Это означает, что напряжение между точками А и В будет равно $U_{AB} = R\frac{I}{3}$. Отсюда найдем искомое эквивалентное сопротивление:

$R_x = \frac{U_{AB}}{I} = \frac{R}{3}$.

Задача 24. Найдите эквивалентное сопротивление между двумя соседними узлами А и В бесконечной проволочной сетки (рис.), если сопротивление прямолинейного проводника, соединяющего два ближайших узла сети, равно R.

Решение. Решение этой задачи аналогично предыдущей: $\frac{I}{3} + \frac{I}{3} = \frac{2I}{3}$. Это означает, что напряжение между точками А и В будет равно $U_{AB} = R\frac{2I}{3}$. Отсюда найдем искомое эквивалентное сопротивление:

$R_x = \frac{U_{AB}}{I} = \frac{2R}{3}$.


1.1. Шаговый (рекуррентный) метод

1.2. Метод преобразования

1.3. Метод равнопотенциальных узлов

1.3.1. Метод исключения «пассивных» участков цепи

1.3.2. Метод объединения равнопотенциальных узлов

1.3.3. Метод разделения узлов

1.3.4. Метод расщепления ветвей

1.4.1 Расчет эквивалентных сопротивлений линейных бесконечных цепей

1.4.2. Расчет эквивалентных сопротивлений плоскостных бесконечных цепей

1.4.3. Расчет эквивалентных сопротивлений объемных бесконечных цепей

2. Расчет цепей по правилам Кирхгофа

3. Преобразование и расчет цепей с помощью перехода «звезда» — «треугольник»