Подготовка к олимпиаде. Методы расчета резисторных схем постоянного тока. 2. Расчет цепей по правилам Кирхгофа

          

Методы расчета резисторных схем постоянного тока

2. Расчет цепей по правилам Кирхгофа

Два правила Кирхгофа представляют собой довольно сложный алгоритм решения задач на нахождение любых характеристик цепи постоянного тока. Причем сложность заключена обычно не в составлении и записи уравнений, а в решении системы большого числа (не менее трех) этих уравнений.

Первое правило Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов в любой точке разветвления проводников (в узле) равна нулю.

Токи, втекающие в узел А цепи (рис.), будем, например, считать положительными, тогда вытекающие из узла токи — отрицательные, запишем:

$I_1 – I_2 – I_3 = 0$.

Выделим в произвольной цепи произвольный замкнутый контур (рис.).

Второе правило Кирхгофа. Для замкнутого контура сумма произведений сил токов в отдельных участках этого контура на соответствующие сопротивления равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре.

Для контура, изображенного на рис., запишем:

$-I_1R_2 + I_4R_4 + I_3R_3 – I_2R_2 = \mathcal{E_1} – \mathcal{E_2}$

С помощью правил Кирхгофа составляется система линейных алгебраических уравнений, число которых равно числу неизвестных физических параметров в задачах с разветвленной электрической цепью.

Рекомендуется следующий алгоритм:

  • выберите направление токов во всех участках разветвленной цепи и отметьте их на чертеже;
  • составьте уравнения по первому правилу Кирхгофа, соблюдая правило знаков:

токи, втекающие в узел, — положительные, вытекающие из узла, — отрицательные;

  • убедитесь, что число составленных уравнений на единицу меньше числа узлов в цепи;
  • произвольно выберите контур и направление его обхода; каждый новый контур должен содержать хотя бы одну новую ветвь цепи;
  • при обходе контура и составлении уравнения соблюдайте правило знаков: ток противоположного направления обхода берется со знаком «минус»;
  • при записи алгебраической суммы ЭДС следуйте мнемоническому правилу последнего знака: при переходе через источник «ЭДС берется с последним знаком»;
  • проверьте полноту системы полученных уравнений и решите ее;
  • если значение некоторых токов в цепи получилось отрицательным, значит, ток течет в направлении, противоположном обозначенному на схеме;
  • если же получено отрицательное значение сопротивления, то ответ ошибочный. Рассмотрим пример.

Задача 26. Определите сопротивление цепи АВ (рис.), если R1 = R5 = 1 Ом, R2 = R6 = 2 Ом, R3 = R7 = 3 Ом, R4 = R5 = 4 Ом.

Решение. В данной цепи, состоящей из восьми резисторов, нет хотя бы двух элементов, соединенных между собой последовательно или параллельно. Кроме того, здесь в отличие от схем, рассмотренных ранее, отсутствует осевая симметрия (она имела бы место, если бы сопротивления всех резисторов были одинаковы). Используем правила Кирхгофа.

Для этого предположим, что к зажимам цепи АВ подключен источник постоянного тока (показано пунктиром). Обозначим токи на всех участках цепи и произвольно укажем их направления. Всего их получается 9:

I1, I2, I3, I4, I5, I6, I7, I8, I.

Чтобы избежать громоздких вычислений, связанных с решением системы из девяти уравнений, воспользуемся следующим обстоятельством:

из условия задачи видно, что данная цепь обладает центральной симметрией с центром в точке О.

Действительно, если, отсоединив цепь в точках А и В от источника, повернуть ее в плоскости чертежа вокруг точки О на 180° и снова соединить с источником, то в силу данных в условии равенств она совместится со своим первоначальным положением. Но теперь в резисторе R5 течет ток, который был раньше в резисторе R1. Перемена же знаков напряжения на зажимах не может вызвать изменения силы тока ни на одном участке цепи. Это означает, что и раньше в резисторах R5 и R1 текли токи одинаковой силы, т.е. I1 = I5.

Аналогично можно показать, что в данной цени должны выполняться равенства:

I2 = I6; I3 = I7; I4 = I8.

Таким образом, в задаче фактически имеется лишь пять неизвестных токов:

I1, I2, I3, I4, I.

Тогда, по первому правилу Кирхгофа, с учетом того, что I2 = I6, I4 = I8 получим соответственно для узлов А, С и D три уравнения:

$I = I_1 + I_4$

$I_1 = I_2 + I_3$

$I_3 = I_2 + I_4$

Легко убедиться проверкой, что аналогичные уравнения, составленные для остальных трех узлов схемы, будут повторением уже имеющихся уравнений, что является следствием осевой симметрии сопротивлений резисторов схемы.

Недостающие два уравнения можно получить на основании второго правила Кирхгофа. Выбрав направление обхода контуров по часовой стрелке, запишем, например, для контуров ACDBEA и АСЕА уравнения:

$I_1R_1 + I_3R_3 + I_4R_4 = \mathcal{E}$;

$I_1R_1 + I_2R_2 + I_8R_8 = 0$;

Подставив в эти уравнения численные значения сопротивлений из условия задачи и учитывая, что

$I_8R_8 = I_4R_4$,

решим систему из пяти уравнений относительно тока I и получим:

$I = \frac{14}{47}\mathcal{E}$

Но т.к. $I = \frac{E}{R}$ то отсюда следует значение искомого эквивалентного сопротивления:

$R = \frac{47}{14}$ Ом.

Как было отмечено выше, любая сложная цепь может быть рассчитана с помощью двух правил Кирхгофа.

Помимо положительных сторон данного метода необходимо отметить и ряд неудобств, громоздкость вычислений - основное из них. Так, при решении приведенной задачи расчет был искусственно упрощен за счет симметричности данных и осевой симметрии схемы относительно точки О. Кроме того, не приведен полный расчет системы полученных уравнений, а дан лишь конечный результат. Если бы в условии задачи все резисторы имели бы разные величины, то пришлось бы решать систему из девяти уравнений с девятью неизвестными, что само по себе весьма неудобно.


1.1. Шаговый (рекуррентный) метод

1.2. Метод преобразования

1.3. Метод равнопотенциальных узлов

1.3.1. Метод исключения «пассивных» участков цепи

1.3.2. Метод объединения равнопотенциальных узлов

1.3.3. Метод разделения узлов

1.3.4. Метод расщепления ветвей

1.4.1 Расчет эквивалентных сопротивлений линейных бесконечных цепей

1.4.2. Расчет эквивалентных сопротивлений плоскостных бесконечных цепей

1.4.3. Расчет эквивалентных сопротивлений объемных бесконечных цепей

2. Расчет цепей по правилам Кирхгофа

3. Преобразование и расчет цепей с помощью перехода «звезда» — «треугольник»