Опубликовано ср, 12/25/2019 - 18:47 пользователем fizportal.ru ЭЛЕКТРИЧЕСТВО. 1. Закон Кулона 6.1.1. Два одинаковых шарика несут одинаковые заряды. Найти отношение заряда к массе шарика, при котором электрическое отталкивание в точности компенсирует гравитационное притяжение. Ответ $\frac{Q}{M} = 8,6 \cdot 10^{-11}{ Кл/кг}$ 6.1.2. а) Две капли воды радиуса 1 см находятся на расстоянии 10 м. Определите силу взаимодействия между ними, если по какой-то причине они потеряли по 0,001 % электронов. б) В Гауссовской системе единиц (в СГС) единичный заряд (заряд, равный 1 СГСЭ) взаимодействует с таким же зарядом на расстоянии 1 см, с силой $1 дина = 10^{-5}$ Н. Чему равен этот заряд в Кл? в) С какой силой взаимодействуют заряды $q = 10$ СГСЭ на расстоянии $l = 10$ см друг от друга? Ответ a) $F = 4,5 \cdot 10^8{ H}$. Это фантастически огромная сила. Ясно, что такое не происходит. Обычно, тело может потерять ничтожную долю своих электронов; б) $q = \frac{Кл}{3 \cdot 10^9}$; в) $F = 10^{-5}{ H}$ 6.1.3. а) Три шарика, с зарядом $q$ и массой $m$ каждый, связанные пружиной и нитью, находятся на одной прямой. Расстояние между ближайшими шариками равно $l$ (см. рисунок). Определите ускорение шариков в момент обрыва нити. б) Решите задачу а) в случае, когда заряженные шарики, связанные двумя одинаковыми пружинами и нитью образуют правильный треугольник со сторонами длины $l$ (см. рисунок). в) Жесткость пружин в задачах а) и б) равна $k$. Определите их растяжение. Ответ a) $a_1 = 0, a_2 = a_3 = \frac{5q^2}{16\pi \varepsilon_0 ml^2}$; б) $a_1 = -\frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 ml^2}, a_2 = 0, a_3 = \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 ml^2}$; в) $x_1 = \frac{5q^2}{16\pi \varepsilon_0 kl^2}, x_2 = \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 kl^2}$ 6.1.4. Вертушка состоит из стержня, центр которого находится на оси вращения. На одном конце стержня находится заряд $q$. Какой заряд находится на втором конце стержня, если стержень повернулся на $30^0$, когда на расстоянии от оси, равном половине длины стержня на одинаковом расстоянии от концов стержня (см. рисунок) поместили третий заряд? Ответ $Q = \frac{q}{3\sqrt{3}}$ 6.1.5. В вершинах равностороннего треугольника помещены три одинаковых заряда. Величина каждого заряда $10^{-5}$ Кл. Сила, действующая на каждый заряд, $0,01$ Н. Определите длину стороны треугольника. Ответ $l = 12,5 \,м$ 6.1.6. а) Четыре одинаковых заряда $$q находятся в вершинах квадрата, сторона которого равна $a$ (см. рисунок). Какая электрическая сила действует на каждый заряд? б) Какой заряд надо поместить в центре квадрата в задаче а), чтобы система находилась в равновесии? Ответ a) $F = \frac{kq^2}{2a^2}(1 + 2\sqrt{2})$; б) $Q = -\frac{1}{4}q(1 + 2\sqrt{2})$ 6.1.7.а) В вершинах правильного шестиугольника со стороной $l$ расположены заряды $q, 2q, 3q, 4q, 5q , 6q$ (см. рисунок), а в центре шестиугольника - заряд $Q$. Найдите силу, действующую на заряд $Q$. б) Решите задачу а) в случае, когда заряды $q , 2q, 3q, 4q, 5q, 6q, Iq, 8q , 9q, 10q, 11q, 12q$ расположены в вершинах правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса $R$. Ответ a) $F = \frac{6kqQ}{l^2}$; б) $F = \frac{12kqQ}{R^2}\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ 6.1.8. а) Одинаковые нити длины $l$, соединяющие восемь небольших шариков с зарядом $q$, являются ребрами куба, в вершинах которого находятся эти шарики (см. рисунок). Определите натяжение нитей. Как изменится это натяжение, если в центре куба поместить заряд $Q$? б) Одинаковые нити длины $l$, соединяющие четыре заряда $q$, образуют правильный тетраэдр, в вершинах которого находятся эти заряды (см. рисунок). Определите натяжение нитей. Как изменится это натяжение, если один из зарядов $q$, заменить зарядом $Q$? в) Шесть одинаковых зарядов, связанных нитями длины $l$, находятся в вершинах призмы, ребра которой - эти нити (см. рисунок). Нити выдерживают натяжение не больше $T$. Какие заряды могут удерживать эти нити? Ответ a) $T = \frac{kq^2}{l^2}(1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{3}})$; $\Delta T = \frac{4kqQ}{3\sqrt{3}l^2}$; б) $T = \frac{kq^2}{l^2}, \Delta T_1 = \frac{kq(Q - q)}{l^2}, \Delta T_2 = 0$; в) $q_{max} = \frac{l\sqrt{T}}{\sqrt{k(1 + \frac{1}{2\sqrt{2}})}}$ 6.1.9. На оси равномерно заряженного зарядом $Q$ кольца радиуса $R$ находится точечный заряд $q$. Найти силу взаимодействия между ними. Расстояние между центром кольца и точечным зарядом равно $x$ (см. рисунок). Ответ $F = kqQ\frac{x}{(x^2 + R^2)^{3/2}}$ 6.1.10.* а) На половину проволочного кольца радиуса $r$ равномерно нанесли заряд, который с силой $F$ действует на заряд $Q$ в центре кольца (см. рисунок). Определите заряд кольца. б) Решите задачу а), когда заряжена $1/6$ часть кольца. в) Решите задачу а), когда заряжена $\frac{1}{n}$ часть кольца. Ответ a) $q = \frac{\pi r^2 F}{2kQ}$; б) $q = \frac{\pi r^2 F}{3kQ}$; в) $q = \frac{\pi r^2 F}{Qnk\,sin(\pi/n)}$ 6.1.11. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде, равномерно заряженном отрицательным зарядом, при смещении положительного заряда, расположенного в его центре (см. рисунок), в сторону одной из граней, на заряд будет действовать сила, возвращающая заряд к центру параллелепипеда. Ответ 6.1.12.* а) В центре равномерно заряженного стержня длины $2l$ находится бусинка с зарядом $q$. Полный заряд стержня равен $Q$. Определите силу, действующую на бусинку при малых смещениях (см. рисунок). б) Решите задачу а) в случае, когда стержень согнут в дугу радиуса $R$ (см. рисунок). в) Определите период малых колебаний бусинки в задаче а) и б) для бусинки с массой $m$. Как изменится этот период в поле тяжести? Ускорение $g$ параллельно линии, соединяющей центр окружности с неподвижной бусинкой. Ответ a) $F = \frac{qQx}{4\pi \varepsilon_0 l^3}$; б) $F = \frac{Qqx\,cos(l/2R)}{16\pi \varepsilon_0 R^2l\,sin^2(l/2R)}$; в) $T = 4\pi R\,sin(l/2R)\sqrt{\frac{ml}{4mglRsin^2(l/2R) - kqQcos(l/2R)}}, k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}$ 6.1.13. а) Два заряженных одинаковыми электрическими зарядами шарика массы $m = 5$ г подвешены на невесомых нитях длиной $L = 1$ м так, как показано на рисунке. Расстояние $l$ между центрами шариков равно $4$ см и много больше их радиусов. Найти заряды шариков. б) Небольшое тело массы $m = 5$ г связано с помощью тонких невесомых нитей длиной $L = 1$ м каждая с двумя наполненными гелием шариками, которые несут на себе одинаковые электрические заряды. Система, зависнув в воздухе, находится в равновесии. Расстояние $l$ между центрами шариков равно $40$ см и много больше их радиусов. Найти заряды на шариках. в) Три одинаково заряженных шарика, подвешенные в одной точке на нитях длины $l$, находятся на расстоянии $l$ друг от друга. Масса каждого шарика $m$. Определите заряд каждого шарика. Ответ a) $Q = l\sqrt{\frac{mgl}{k\sqrt{4L^2 - l^2}}} = 1,32 \cdot 10^{-8}\, Кл$; б) $Q = l\sqrt{\frac{mgl}{2k\sqrt{4L^2 - l^2}}} = 2,98 \cdot 10^{-8}\, Кл$; в) $Q = l\sqrt{\frac{mgl}{k\sqrt{3(3L^2 - l^2)}}}$ 6.1.14. Два одинаковых шарика подвешены на нитях одинаковой длины в одном и том же месте. Под действием сообщенных им одинаковых зарядов они разошлись на угол $90^0$. Через некоторое время угол уменьшился до $60^0$ (см. рисунок). Какую долю заряда потерял каждый шарик? Ответ $n = 1 - \frac{1}{\sqrt{2\sqrt{3}}} = 0,463$ 6.1.15. а) Шарик массы $m$ подвешен на двух нитях длины $a$ и $b$ к горизонтально расположенной палке. Точки крепления нити на палке расположены на расстоянии $l$ друг от друга, $l > a + b$ (см. рисунок). В точках крепления и на шарике находятся заряды $q$. Определите натяжение нитей. б) Определите натяжение нитей в задаче а), когда палка расположена под углом $\alpha$ к горизонтальной плоскости. Ответ a) $T_1 = \frac{kq^2}{a^2} + \frac{mgcos\alpha_3}{sin(\alpha_2 + \alpha_3)}, T_2 = \frac{kq^2}{b^2} + \frac{mgcos\alpha_3}{sin(\alpha_2 + \alpha_3)}$; б) $T_1 = \frac{kq^2}{a^2} + \frac{mga\,cos(\alpha_3 - \alpha)}{sin(\alpha_2 + \alpha_3)}, T_2 = \frac{kq^2}{b^2} + \frac{mg\,cos(\alpha_2 + \alpha)}{sin(\alpha_2 + \alpha_3)}$, углы $\alpha_2 \;и\; \alpha _3$ определяются формулами: $\alpha_2 = arccos(\frac{b^2 + l^2 - a^2}{2bl}), \alpha_3 = arccos(\frac{a^2 + l^2 - b^2}{2al})$ 6.1.16. Три небольших шарика с зарядами $Q$, два из которых связаны нитью длины $l$, находятся в равновесии внутри гладкой сферической плоскости радиуса $r$ (см. рисунок). С какой силой каждый из шариков давит на стенку плоскости? Каково натяжение нити? Ответ $N_1 = \frac{kQ^2}{r\sqrt{2r(r + \sqrt{r^2 - (l/2)^2})}}, N_2 = N_3 = \frac{kQ^2}{2\sqrt{2r(r^2 - (l/2)^2)(r + \sqrt{r^2 - (l/2)^2})}}, T = \frac{kQ^2}{l^2}[1 - \frac{l^3}{4\sqrt{2r(r^2 - (l/2)^2)(r + \sqrt{r^2 - (l/2)^2})^3}}]$, если $l < r\sqrt{3}$, $N_1 = N_2 = N_3 = \frac{kQ^2}{r^2\sqrt{3}}, T = 0$, если $l > r\sqrt{3}$ 6.1.17.* а) На нить длины $l$ надели три бусинки и замкнули ее в петлю. Одна бусинка имеет заряд $Q$, две остальные - по $q$. Бусинки могут скользить по нити без трения. Определите натяжение нити в положении равновесия (см. рисунок). б) Три маленькие бусинки нанизаны на нитку длины $l$, концы которой соединены (т. е. образована петля). Трения между бусинками и ниткой нет. Две бусинки заряжают до одинакового заряда $Q$, а третью бусинку до малого заряда $q << Q$, причем $qQ > 0$. В результате бусинки устанавливаются почти на одной прямой (см. рисунок). Заряд $q$ начинают постепенно увеличивать. При каком значении $q$ конфигурация бусинок начнет изменяться? Рассчитайте новую конфигурацию при $q = Q$. Ответ a) $T = \frac{kq(\sqrt{q} + 2\sqrt{Q})^2}{l^2}$; б) $q > \frac{Q}{4}$ 6.1.18. а) На каком расстоянии от тела массы $M$ с зарядом $Q$, которое находится в основании гладкой плоскости с углом наклона $\alpha$, нужно поместить на горизонтальной плоскости слева (см. рисунок) заряд $q$, чтобы это тело начало двигаться вверх по наклонной плоскости? б) Решите задачу а) в случае, когда коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью равен $\mu$. Ответ a) $l < Q\sqrt{kctg\alpha}{mg}$; б) $l < Q\sqrt{\frac{k}{mg}\cdot \frac{cos\alpha - \mu sin\alpha}{sin\alpha + \mu cos\alpha}}$, если $\mu < ctg\alpha$. Не будет двигаться, если $\mu > ctg\alpha$ 6.1.19. На внутренней поверхности конуса на расстоянии $l$ от его вершины находятся напротив друг друга два тела с положительными зарядами $q$ и массами $m$. Ось конуса вертикальна, угол при вершине равен $2\alpha$ (см. рисунок). Если в вершине конуса поместить отрицательный заряд меньше чем ($-Q$), то тела начнут двигаться вниз. Какой заряд нужно поместить в вершине конуса, чтобы тела стали двигаться вверх по поверхности конуса? Ответ $Q_x = Q + \frac{2mgl^2cos\alpha}{kq} - \frac{q}{2sin\alpha}$ 6.1.20. По спице могут двигаться две бусинки с одинаковым положительным зарядом. Бусинки, расположенные на расстоянии $2l$ друг от друга, будут неподвижны, если положительно заряженный шарик находится на участке средней линии, нижний конец которого удален от спицы на $h$, а верхний на $R$ (см. рисунок). Определите коэффициент трения между бусинками и спицей. Ответ $\mu = \frac{l((H^2 + l^2)^{3/2} - (h^2 + l^2)^{3/2})}{h(H^2 + l^2)^{3/2} - H(h^2 + l^2)^{3/2}}$ 6.1.21. Вокруг заряда е вращаются с угловой скоростью $\omega$, располагаясь в углах треугольника со сторонами длины $l$, три одинаковых частицы с зарядами ($-е$) (см. рисунок). Определите их массы. Ответ $m = \frac{3kq^2}{\omega^2 l^3}(\sqrt{3} - 1)$ 6.1.22. а) Две одинаковые частицы с зарядами $e$, находясь на расстоянии $l$ друг от друга, удерживаются на месте двумя другими частицами с зарядами ($-e$) и массами $m$, которые вращаются вокруг прямой, проходящей через частицы с зарядами $e$ (см. рисунок). На каком расстоянии от этой прямой находятся вращающиеся частицы? Чему равна их угловая скорость? б) Решите задачу а), если вокруг прямой, проходящей через заряды $e$, вращаются три одинаковые частицы с зарядами ($-e$) и массами $m$? Могут ли удерживать заряды $e$ четыре одинаковые вращающиеся частицы с зарядами ($-e$)? Ответ a) $x = \frac{\sqrt{3}}{2}l, \omega = \sqrt{\frac{2ke^2(3\sqrt{3} - 1)}{3\sqrt{3}mgl^2}}$; б) $x = \frac{l}{2}\sqrt{^3\sqrt{144} - 1}, \omega = \sqrt{\frac{2kq^2}{m}(\frac{1}{l^2/4 - x^2} - \frac{1}{3x^2})}. \; Нет$ 6.1.23.* Грани правильного тетраэдра равномерно заряжены с разной поверхностной плотностью: $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$, $\sigma_4$. При наложении грани с поверхностной плотностью $\sigma_1$, на грань с поверхностной плотностью $\sigma_2$ (см. рисунок) была совершена работа $A$. Какую работу нужно совершить при сложении всех граней? Ответ $A_x = A[1 + \frac{1}{\sigma_1\sigma_2}((\sigma_1 + \sigma_2)(\sigma_3 + \sigma_4) + \sigma_3\sigma_4)]$ Tags: Олимпиадаэлектростатикаподготовка к олимпиаде
