Сборник задач. Углубленный уровень. ДИНАМИКА. 9. Планеты и звезды

          

ДИНАМИКА. 9. Планеты и звезды

2.9.1. Радиус Земли $6370$ км, ее средняя плотность $5,5$ г/см3. Для Луны эти параметры соответственно $1738$ км и $3,34$ г/см3, а для укрытого толстой азотной атмосферой спутника Сатурна, Титана это $2575$ км и $1,85$ г/см3. Определите силу тяжести, которую будет испытывать на Луне и Титане человек, который на Земле весит $70$ кг.

2.9.2. Первой космической скоростью называется скорость, при которой тело вращается на низкой орбите вокруг планеты. Используя сведения из задачи $2.9.1$, определите первую космическую скорость и период обращения вокруг Земли, Луны и Титана.

2.9.3. Сатурн в $9,5$ раза дальше от Солнца, чем Земля. Определите длительность путешествия к Сатурну по эллиптической траектории с перигелием вблизи Земли и апогелием вблизи Сатурна. Аппарат Кассини на путешествие Земля - Венера - Венера - Земля - Юпитер - Сатурн потратил $7$ лет.

2.9.4. Определите расстояние от Луны, на котором сила притяжения Земли уравновешивается силой притяжения Луны. Расстояние от Земли до Луны $380$ тыс. км, масса естественного спутника $1/81$ от массы Земли.

2.9.5.* Полет из пушки на Луну не получился, потому что выстрелили прямой наводкой, забыв о ее движении. Сколько времени длился полет, если пороха было минимально необходимое количество для того, чтобы достичь спутника по прямой траектории. Период обращения Луны $27$ суток. Луна оказалась далеко от того места, в которое целились.

2.9.6. Согласно популярной ныне гипотезе, Луна состоит из материала, выброшенного из Земли в результате ее столкновения с другой планетой. Приливное трение замедляет вращение Земли и удаляет от нее естественный спутник. Оцените продолжительность суток в далекое от нас время, когда Луна была значительно ближе, чем сейчас. Момент инерции шара $\frac{2}{5}mR^2$, масса Луны $1/81$ от массы Земли.

2.9.7. Орбита Земли почти круговая. Все же минимальное расстояние до Солнца, которое планета имеет в конце февраля, на $3,4$ % меньше максимального, которое наблюдается в конце августа. Оцените, насколько сутки в феврале короче, чем в марте. Оцените сдвиг световых суток относительно календарных, связанный с непостоянной скоростью вращения Земли вокруг Солнца.

2.9.8. Один из перспективных способов космических путешествий основан на использовании ионных двигателей. Вследствие высокой ($20 - 60$ км/с) скорости создаваемой двигателем ионной струи, расход топлива оказывается много меньше, чем в химических двигателях. Недостатком ионных двигателей является их малая тяга, так что заметное ускорение аппарата достигается при их непрерывной работе в течение нескольких лет. Представим, что аппарат был выведен на орбиту вокруг Солнца химической ракетой и далее, от начального расстояния от Солнца $l_0$ по спирали удаляется от светила действием ионного двигателя. Орбитальная скорость вращения Земли вокруг Солнца $v_0 = 30$ км/с, сила тяги двигателя $F$, масса аппарата $m$ существенно не меняется. Как будет меняться расстояние $l(t)$ от аппарата до Солнца во времени. Сколько времени нужно, чтобы при тяге $0,06$ Н и массе станции $1000$ кг от орбиты Земли добраться до пояса астероидов, находящегося в  $\approx 2$ раза дальше от Солнца, чем Земля.

2.9.9. Расстояние от Юпитера до Солнца в $5,2$ раза больше, чем от Земли. Оцените, какую наибольшую прибавку к скорости полета можно получить, используя его тяготение. Орбитальная скорость вращения Земли $30$ км/с. Космический аппарат стартует с Земли.

2.9.10.* Невесомость на орбите вокруг Земли является относительной. Опишите качественно движение мяча, который космонавт бросил с некоторой небольшой скоростью $v$ относительно себя по направлению полета. Где и на каком расстоянии от космонавта будет он находиться через время $T$ одного витка вокруг Земли, если скорость движения станции с космонавтом относительно Земли $v_0$.

2.9.11. Орбитальная станция движется по круговой орбите со скоростью $v = 7,65$ км/с, совершая полный оборот за $T = 5550 с$. Из шлюзового отсека станции по направлению к Земле со скоростью $u = 1$ м/с выброшен контейнер с мусором. Вместо того чтобы упасть на Землю, он через некоторое время вновь поднялся на высоту станции, затем оказался выше нее, вернулся и ударился об обшивку борта, обращенного против Земли. На какое расстояние контейнер приблизился к Земле? На каком расстоянии от станции он оказался, когда вновь поднялся на ее высоту? С какой минимальной скоростью нужно выбросить контейнер, чтобы он после первого оборота станции вокруг Земли не врезался в борт станции, если расстояние от шлюза до края ее корпуса по ходу движения $d = 3$ м ?

2.9.12. Период обращения двойной звезды $T$, длина большой полуоси первой из звезд $a_1$, второй - $a_2$. Определите массу каждой звезды.